[论文解读] Domain Wall Decorations, Anomalies and Spectral Sequences in Bosonic Topological Phases

Qing-Rui Wang, Shang-Qiang Ning+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2021

Black Holes and Theoretical Physics被引用 14

一句话总结

本文利用亚提亚-赫兹布吕赫谱序列（AHSS）建立了一个统一框架，将任意子拓扑序中的域壁装饰、异常以及自旋统计（LSM）定理联系起来。研究表明，在群上同调拓扑序中，域壁装饰构造在数学上由李昂德-豪希德-塞尔（LHS）谱序列描述，并给出了域壁装饰数据的显式上链公式。关键贡献在于对LHS谱序列的完整上链层次描述，从而可推导出新的LSM定理，并对对称性增强的拓扑序进行分类。

ABSTRACT

In this work we investigate the decorated domain wall construction in bosonic group-cohomology symmetry-protected topological (SPT) phases and related quantum anomalies in bosonic topological phases. We first show that a general decorated domain wall construction can be described mathematically as an Atiyah-Hirzebruch spectral sequence, where the terms on the $E_2$ page correspond to decorations by lower-dimensional SPT states at domain wall junctions. For bosonic group-cohomology SPT phases, the spectral sequence becomes the Lyndon-Hochschild-Serre (LHS) spectral sequence for ordinary group cohomology. We then discuss the physical interpretations of the differentials in the spectral sequence, particularly in the context of anomalous SPT phases and symmetry-enriched gauge theories. As the main technical result, we obtain a full description of the LHS spectral sequence concretely at the cochain level. The explicit formulae are then applied to explain Lieb-Schultz-Mattis theorems for SPT phases, and also derive a new LSM theorem for easy-plane spin model in a $π$ flux lattice. We also revisit the classifications of symmetry-enriched 2D and 3D Abelian gauge theories using our results.

研究动机与目标

• 统一理解玻色子拓扑序中异常、域壁装饰与LSM定理的物理机制。
• 建立一个数学框架，将群上同调SPT相中的域壁装饰构造与谱序列联系起来。
• 提供LHS谱序列的显式上链公式，以支持具体的物理应用。
• 推导玻色子系统的新LSM定理，包括在π通量晶格中易平面自旋模型的新结果。
• 利用所发展的框架对2D与3D中的对称性增强阿贝尔规范理论进行分类。

提出的方法

• 将域壁装饰构造映射到亚提亚-赫兹布吕赫谱序列（AHSS），其中E2页编码了域壁交点处的低维SPT态。
• 将AHSS特化为玻色子群上同调SPT相中的普通群上同调的李昂德-豪希德-塞尔（LHS）谱序列。
• 利用李昂德算法在上链层次上将群上循环分解为域壁装饰数据，从而得到谱序列中所有项的显式公式。
• 应用上链层次的LHS谱序列来计算障碍与微分，这些量编码了物理异常与一致性条件。
• 从物理角度解释谱序列微分的含义，包括异常与对称性增强的拓扑序。
• 将该形式化方法应用于重新推导已知的LSM定理，并推导出在π通量晶格中易平面自旋模型的新LSM约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用谱序列系统地描述玻色子SPT相中的域壁装饰？
• RQ2 在群上同调SPT相中，LHS谱序列的微分具有何种物理意义？
• RQ3 LHS谱序列的上链结构是否可被完全计算并用于推导新的LSM定理？
• RQ4 拓扑规范理论中的异常如何与谱序列的微分相关联？
• RQ5 该框架能否对2D与3D中的对称性增强阿贝尔规范理论进行分类？

主要发现

• 作者提供了群上同调中LHS谱序列的完整上链层次描述，显式计算了至四阶的所有项。
• 域壁装饰数据被表示为显式上链公式，例如 ˜ωp,q_n(a1,…,aq,gq+1,…,gn) = ˜ωn(a1,…,aq,1gq+1,…,1gn)，这些公式将上循环分解为低维SPT不变量。
• 为在π通量晶格中的易平面自旋模型推导出一个新的李布-舒尔茨-马蒂斯型定理，表明若系统为非平凡SPT相，则对称性保护的能隙SRE基态才可能实现。
• 该框架成功重新推导了已知的LSM约束，并提供了一套系统方法，用于推导新对称性增强系统的此类约束。
• 通过分析谱序列微分，该方法对2D与3D中的对称性增强阿贝尔规范理论进行了分类，这些微分编码了任意任何任何统计与对称性融合规则。
• 证明谱序列的微分对应于物理异常，例如无法在孤立系统中实现某些对称性增强的拓扑序。