[论文解读] Domains for Higher-Order Games

Matthew Hague, Roland Meyer+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Formal Methods in Verification参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于无限布尔公式的新型领域，其中原子命题为自动机状态，用于分析高阶递归方案上的二人包含博弈。通过抽象解释将这些公式抽象为有限领域，作者实现了获胜区域的高效不动点计算，为阶数k的方案实现了(k+1)EXP算法，并通过匹配的下界证明了其最优性。

ABSTRACT

We study two-player inclusion games played over word-generating higher-order recursion schemes. While inclusion checks are known to capture verification problems, two-player games generalize this relationship to program synthesis. In such games, non-terminals of the grammar are controlled by opposing players. The goal of the existential player is to avoid producing a word that lies outside of a regular language of safe words. We contribute a new domain that provides a representation of the winning region of such games. Our domain is based on (functions over) potentially infinite Boolean formulas with words as atomic propositions. We develop an abstract interpretation framework that we instantiate to abstract this domain into a domain where the propositions are replaced by states of a finite automaton. This second domain is therefore finite and we obtain, via standard fixed-point techniques, a direct algorithm for the analysis of two-player inclusion games. We show, via a second instantiation of the framework, that our finite domain can be optimized, leading to a (k+1)EXP algorithm for order-k recursion schemes. We give a matching lower bound, showing that our approach is optimal. Since our approach is based on standard Kleene iteration, existing techniques and tools for fixed-point computations can be applied.

研究动机与目标

• 开发一种直接且高效的算法，用于求解高阶递归方案上的二人包含博弈。
• 通过Podelski的循环支持程序合成，该循环需要迭代的、以规格为导向的分析，且无需昂贵的预计算。
• 在分析中直接处理非确定性正则规格，避免归约为可达性或模型检测问题。
• 提供一个支持不动点计算且保持高阶博弈最优复杂度的领域。

提出的方法

• 提出一种无限布尔公式领域，其中原子命题为识别目标正则语言的有限自动机状态。
• 应用抽象解释，通过将原子命题替换为自动机状态，将该无限领域抽象为有限领域。
• 在有限领域上使用标准Kleene迭代进行不动点计算，以求解获胜区域。
• 通过解析确定化信息优化有限领域，使存在性玩家能在分析过程中解决非确定性问题。
• 将策略合成问题归约为高阶递归方案上的博弈，同时保持所有权与接受条件。
• 建立k重压栈自动机与高阶方案之间的对应关系，以证明(k+1)EXP难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个领域，使得在具有非确定性规格的高阶包含博弈中，可直接进行获胜区域的不动点计算？
• RQ2 是否可能在不损失博弈求解表达能力的前提下，将基于自动机状态的无限布尔公式抽象为有限领域？
• RQ3 所得到的算法能否实现阶数k递归方案的最优复杂度？
• RQ4 如何在分析中处理规格中的非确定性，避免如确定化等昂贵的预计算？
• RQ5 求解高阶递归方案上的二人包含博弈的精确复杂度是什么？

主要发现

• 所提出的领域可利用标准技术直接进行获胜区域的不动点计算，避免归约为可达性博弈。
• 通过抽象解释获得的有限抽象，为阶数k的递归方案实现了(k+1)EXP算法。
• 该算法是最优的，因为本文建立了匹配的(k+1)EXP难性下界。
• 该方法内在地处理了非确定性规格，无需预确定化或构造乘积。
• 该方法支持在Podelski循环中的迭代使用，因其依赖于规格大小，避免了昂贵的全局程序计算。
• 该构造建立了k重压栈自动机与高阶递归方案之间的紧密对应关系，从而支持难解性证明。