[论文解读] Dominant dimension and tilting modules

Van C. Nguyen, Idun Reiten+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 6

一句话总结

该论文证明了，一个artin代数存在由投射-内射模生成并余生成的tilting模当且仅当其上域维数至少为2，且该结论与整体维数无关。关键贡献在于对这类tilting模及其自同态代数的刻画，并将其应用于Auslander代数、1-Auslander-Gorenstein代数、三角矩阵代数和Nakayama代数。

ABSTRACT

We study which algebras have tilting modules that are both generated and cogenerated by projective-injective modules. Crawley-Boevey and Sauter have shown that Auslander algebras have such tilting modules; and for algebras of global dimension $2$, Auslander algebras are classified by the existence of such tilting modules. In this paper, we show that the existence of such a tilting module is equivalent to the algebra having dominant dimension at least $2$, independent of its global dimension. In general such a tilting module is not necessarily cotilting. Here, we show that the algebras which have a tilting-cotilting module generated-cogenerated by projective-injective modules are precisely $1$-Auslander-Gorenstein algebras. When considering such a tilting module, without the assumption that it is cotilting, we study the global dimension of its endomorphism algebra, and discuss a connection with the Finitistic Dimension Conjecture. Furthermore, as special cases, we show that triangular matrix algebras obtained from Auslander algebras and certain injective modules, have such a tilting module. We also give a description of which Nakayama algebras have such a tilting module.

研究动机与目标

• 刻画那些在其投射-内射模生成并余生成的子范畴中存在tilting模的artin代数。
• 确定此类tilting模存在的精确条件，且不依赖于整体维数。
• 识别出在该子范畴中存在tilting-余tilting模的代数类，并将其与1-Auslander-Gorenstein代数联系起来。
• 研究此类tilting模的自同态代数的整体维数及其与Finitistic维数猜想的关联。
• 为特殊类提供显式构造与刻画，包括三角矩阵代数和Nakayama代数。

提出的方法

• 定义子范畴 $\mathcal{C}_\Lambda = \operatorname{Gen}\widetilde{Q} \cap \operatorname{Cogen}\widetilde{Q}$，其中 $\widetilde{Q}$ 是所有不可约投射-内射模的直和。
• 通过投射模与内射模的同调条件，建立 $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ 与 $\mathcal{C}_\Lambda$ 中tilting模存在的等价性。
• 将tilting模构造为 $T_\mathcal{C} \simeq \widetilde{Q} \oplus \bigoplus_i \Omega^{-1}P_i$，其中 $P_i$ 遍历所有不可约投射但非内射的模。
• 利用syzygy与cosyzygy的结构，通过代数的Kupisch序列与可接受序列显式描述tilting模。
• 通过分析Kupisch序列与可接受序列，应用Nakayama代数理论，推导出上域维数≥2的判别准则。
• 利用索引 $j - c_j$ 以及 $\mathcal{P}_c$ 与 $\mathcal{Q}_c$ 中的包含关系，建立组合条件，以刻画满足 $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ 的代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 artin代数在由其投射-内射模生成并余生成的子范畴中存在tilting模的必要且充分条件是什么？
• RQ2 此类tilting模的存在性与代数的上域维数有何关系，特别是当不假设整体维数有界时？
• RQ3 哪些代数存在一个既是tilting又是cotilting且由投射-内射模生成并余生成的模？
• RQ4 此类tilting模的自同态代数的结构如何？其整体维数与Finitistic维数猜想有何关联？
• RQ5 Nakayama代数的Kupisch序列或可接受序列需满足何种精确条件，才能使其上域维数至少为2？

主要发现

• 在 $\mathcal{C}_\Lambda$ 中存在tilting模当且仅当 $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$，且该结论与整体维数无关。
• 当 $\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ 时，tilting模 $T_\mathcal{C}$ 同构于 $\widetilde{Q} \oplus \bigoplus_i \Omega^{-1}P_i$，其中 $P_i$ 遍历所有不可约投射但非内射的模。
• 在 $\mathcal{C}_\Lambda$ 中存在tilting-余tilting模的代数恰好是1-Auslander-Gorenstein代数。
• 对于Nakayama代数，$\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ 当且仅当 $\mathcal{P}_c \subseteq \{j - c_j \mid j \in \mathcal{Q}_c\}$，其中 $\mathcal{P}_c$ 与 $\mathcal{Q}_c$ 由Kupisch序列定义。
• 在循环Nakayama代数的情形下，$\operatorname{domdim}\Lambda \geq 2$ 当且仅当投影模的集合 $\mathcal{P}_c$ 包含于集合 $\{j - c_j \mid j \in \mathcal{Q}_c\}$ 中。
• 对于线性Nakayama代数，相同的包含关系刻画了上域维数至少为2的情形，且tilting模 $T\mathcal{C}$ 显式描述为具有指定底层与长度的投射模与单序列模的直和。