[论文解读] Dominating Sets and Connected Dominating Sets in Dynamic Graphs

Niklas Hjuler, Giuseppe F. Italiano+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 6

一句话总结

本文提出了首个高效动态算法，用于在边插入和删除的图中维护近似最小支配集（MDS）和最小连通支配集（MCDS）。其在每次更新中实现 $O(\log n)$-近似度，均摊时间复杂度为 $O(\Delta \cdot \text{polylog}~{}n)$，与动态最大独立集（MIS）的最佳已知界限一致；并提出一种确定性 $O(\sqrt{m})$-时间算法，用于维护最小支配集。

ABSTRACT

In this paper we study the dynamic versions of two basic graph problems: Minimum Dominating Set and its variant Minimum Connected Dominating Set. For those two problems, we present algorithms that maintain a solution under edge insertions and edge deletions in time $O(Δ\cdot ext{polylog}~n)$ per update, where $Δ$ is the maximum vertex degree in the graph. In both cases, we achieve an approximation ratio of $O(\log n)$, which is optimal up to a constant factor (under the assumption that $P e NP$). Although those two problems have been widely studied in the static and in the distributed settings, to the best of our knowledge we are the first to present efficient algorithms in the dynamic setting. As a further application of our approach, we also present an algorithm that maintains a Minimal Dominating Set in $O(min(Δ, \sqrt{m}))$ per update.

研究动机与目标

• 为解决尽管 MDS 和 MCDS 在网络和分布式系统中广泛应用，但缺乏高效动态算法的问题。
• 通过提供首个具有可证明近似保证的 MDS 和 MCDS 完全动态算法，弥合静态与动态设置之间的差距。
• 实现与目前已知动态 MIS 算法相当的更新时间复杂度，特别是均摊时间复杂度匹配 $O(\Delta)$ 的界限。
• 提出一种确定性 $O(\sqrt{m})$-时间算法，用于维护最小支配集，优于先前从 MIS 衍生出的 $O(m^{2/3})$ 界限。

提出的方法

• 使用辅助数据结构维护支配集 $\mathcal{D}$：$N_{\mathcal{D}}(u)$ 表示支配顶点 $u$ 的 $\mathcal{D}$ 中顶点集合，$\text{OnlyBy}(v)$ 表示仅被 $v$ 支配的顶点集合。
• 当发生边插入或删除时，动态更新 $N_{\mathcal{D}}(u)$ 和 $\text{OnlyBy}(v)$，以反映支配关系的变化。
• 采用预算机制：当顶点 $v$ 被加入 $\mathcal{D}$ 时，为其分配 $\text{deg}(v)$ 的预算，以分摊未来删除操作的代价。
• 在将顶点插入 $\mathcal{D}$ 时，若可能，优先选择邻居中度数较低（至多 $\sqrt{m}$）的顶点，从而将更新代价降低至 $O(\min(\Delta, \sqrt{m}))$。
• 对于边删除操作，若 $\mathcal{D}$ 中的顶点 $v$ 失去其最后一个支配者，则仅在找到新支配者时才将其从 $\mathcal{D}$ 中移除，新支配者通过将低度数邻居加入 $\mathcal{D}$ 来确定。
• 该算法确保每次更新后 $\mathcal{D}$ 仍为有效支配集，MDS 的近似比为 $O(\log n)$，MCDS 保持连通性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种高效动态算法，在边更新下维护 MDS 问题的 $O(\log n)$-近似解？
• RQ2 是否可能在动态图中以多项式对数时间复杂度和良好近似比维护连通支配集？
• RQ3 能否在每次更新中以 $O(\sqrt{m})$ 时间确定性地维护最小支配集，优于先前的 $O(m^{2/3})$ 界限？
• RQ4 如何通过局部数据结构与摊还分析，高效追踪支配关系的动态维护？

主要发现

• 本文提出一种动态算法，用于最小支配集问题，可在每次更新中以 $O(\Delta \cdot \text{polylog}~{}n)$ 的均摊时间复杂度维持 $O(\log n)$-近似度。
• 对于最小连通支配集，该算法在相同时间复杂度下维持了 $O(\log n)$-近似比。
• 提出一种确定性算法，用于维护最小支配集，其每次更新的均摊时间复杂度为 $O(\sqrt{m})$，优于先前的 $O(m^{2/3})$ 界限。
• 该算法采用预算技术，将顶点从 $\mathcal{D}$ 中移除的代价，通过其被加入 $\mathcal{D}$ 时所关联的边进行摊销。
• 通过在插入时选择低度数顶点，有效控制了更新代价，确保顶点插入操作的时间复杂度为 $O(\min(\Delta, \sqrt{m}))$。
• 这些结果是首次在动态设置下实现此类复杂度界限的 MDS 和 MCDS 算法，其复杂度与动态 MIS 的最佳已知界限一致。