[论文解读] Dominating sets and Domination polynomials of Cycles

‎Saeid Alikhani, Yee-Hock Peng|ArXiv.org|May 20, 2009

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本文推导出一种用于计算环图支配集数量的递归公式，引入了环图的支配多项式并推导其结构性质。主要贡献在于建立了一个递推关系，可高效计算各大小的支配集数量，进而得出支配多项式系数的闭式表达式与组合恒等式。

ABSTRACT

Let G=(V,E) be a simple graph. A set S\subset V is a dominating set of G, if every vertex in V§is adjacent to at least one vertex in S. Let {\mathcal C}_n^i be the family of dominating sets of a cycle C_n with cardinality i, and let d(C_n,i) = |{\mathcal C}_n^i. In this paper, we construct {\mathcal C}_n^i, and obtain a recursive formula for d(C_n, i). Using this recursive formula, we consider the polynomial D(C_n, x) = \sum_{i=1}^n d(C_n, i)x^i, which we call domination polynomial of cycles and obtain some properties of this polynomial.

研究动机与目标

• 通过大小对环图 $C_n$ 的所有支配集进行表征与计数。
• 定义并研究支配多项式 $D(C_n, x) = \sum_{i=\lceil n/3 \rceil}^n d(C_n, i) x^i$，其中 $d(C_n, i)$ 表示大小为 $i$ 的支配集的数量。
• 基于更小的环图 $C_{n-1}, C_{n-2}, C_{n-3}$，推导 $d(C_n, i)$ 的递归公式。
• 建立支配多项式系数的组合恒等式与递推关系。
• 分析 $d(C_n, i)$ 在不同 $n$ 与 $i$ 值下的行为，包括极值情况与对称性特征。

提出的方法

• 通过 $\mathcal{C}_{n-1}^{i-1}, \mathcal{C}_{n-2}^{i-1}, \mathcal{C}_{n-3}^{i-1}$ 的递归构造，构建 $C_n$ 中大小为 $i$ 的支配集族 $\mathcal{C}_n^i$。
• 建立递推关系：$d(C_n, i) = d(C_{n-1}, i-1) + d(C_{n-2}, i-1) + d(C_{n-3}, i-1)$，该关系在特定 $n$ 与 $i$ 条件下成立。
• 利用引理排除不可能配置，将情况减少至五种有效的递归组合。
• 证明支配多项式 $D(C_n, x)$ 满足递推关系 $S_n = S_{n-1} + S_{n-2} + S_{n-3}$，其中 $S_n = \sum_{j=\lceil n/3 \rceil}^n d(C_n, j)$。
• 在特殊情况下推导 $d(C_n, i)$ 的闭式表达式与恒等式，如 $i = n$，$i = n-1$，$i = n-2$，以及 $i = \lceil n/3 \rceil$。
• 通过数学归纳法与分类讨论，验证不同 $n$ 与 $i$ 下 $d(C_n, i)$ 的恒等式，包括恒等式 $\sum_{i=j}^{3j} d(C_i, j) = 3 \sum_{i=j-1}^{3j-3} d(C_i, j-1)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用更小的环图递归计算环图 $C_n$ 中大小为 $i$ 的支配集数量？
• RQ2 环图的支配多项式 $D(C_n, x)$ 具有哪些结构与组合性质？
• RQ3 支配集数量 $d(C_n, i)$ 的极值是多少，例如 $d(C_n, n)$，$d(C_n, n-1)$，以及 $d(C_n, \lceil n/3 \rceil)$？
• RQ4 当 $i$ 固定时，序列 $d(C_n, i)$ 随 $n$ 增大如何变化，特别是其是否呈现单峰增长？
• RQ5 什么递推关系或恒等式控制着 $C_n$ 中所有大小支配集的总数？

主要发现

• 环图的支配多项式满足递推关系 $S_n = S_{n-1} + S_{n-2} + S_{n-3}$，初始值为 $S_1 = 1$，$S_2 = 3$，$S_3 = 7$，其中 $S_n$ 表示 $C_n$ 中支配集的总数。
• $d(C_n, n) = 1$ 且 $d(C_n, n-1) = n$，分别对应唯一的全集与缺失一个顶点的所有集合。
• $d(C_n, n-2) = \frac{n(n-1)}{2}$，由递推关系导出并通过数学归纳法验证。
• $d(C_n, n-3) = \frac{(n-4)n(n+1)}{6}$，通过归纳法证明并基于递推关系建立。
• 当 $n = 3k$ 时，$d(C_{3k}, k) = 3$，对应大小为 $k$ 的三个完美支配集。
• 对于固定的 $i$，序列 $d(C_n, i)$ 在 $n = 2i$ 之前递增，之后递减，且 $d(C_{3i}, i) = 3$，表明其呈现单峰模式。