[论文解读] Domination games played on line graphs of complete multipartite graphs

Hovhannes G. Tananyan|arXiv (Cornell University)|May 1, 2014

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文确定了完全多部图的线图的精确游戏控制数，为先手为Dominator和Staller的游戏提供了闭式公式。通过分析完全多部图中的边控制结构，建立了双方玩家的最优策略，关键结果表明游戏控制数取决于顶点数和部分集大小，特别强调了两个最大部分的作用。

ABSTRACT

The domination game on a graph $G$ (introduced by B. Brešar, S. Klavžar, D.F. Rall \cite{BKR2010}) consists of two players, Dominator and Staller, who take turns choosing a vertex from $G$ such that whenever a vertex is chosen by either player, at least one additional vertex is dominated. Dominator wishes to dominate the graph in as few steps as possible, and Staller wishes to delay this process as much as possible. The game domination number $γ_{\small g}(G)$ is the number of vertices chosen when Dominator starts the game; when Staller starts, it is denoted by $γ_{\small g}^{\prime }(G).$ In this paper, the domination game on line graph $L\left( K_{\overline{m}} ight) $ of complete multipartite graph $K_{\overline{m}}$ $(\overline{m}\equiv (m_{1},...,m_{n})\in \mathbb{N} ^{n})$ is considered, the exact values for game domination numbers are obtained and optimal strategy for both players is described. Particularly, it is proved that for $m_{1}\leq m_{2}\leq ...\leq m_{n}$ both $γ_{\small g}\left( L\left( K_{\overline{m}} ight) ight) =\min \left\{ \left\lceil \frac{2}{3}\left\vert V\left( K_{\overline{m}} ight) ight\vert ight ceil , ight.$ $\left. 2\max \left\{ \left\lceil \frac{1}{2}\left( m_{1}+...+m_{n-1} ight) ight ceil , ext{ }m_{n-1} ight\} ight\} -1$ when $n\geq 2$ and $γ_{g}^{\prime }(L\left( K_{\overline{m}} ight) )=\min \left\{ \left\lceil \frac{2}{3}\left( \left\vert V(K_{_{\overline{m}}}) ight\vert -2 ight) ight ceil , ight.$ $\left. 2\max \left\{ \left\lceil \frac{1}{2}\left( m_{1}+...+m_{n-1}-1 ight) ight ceil , ext{ }m_{n-1} ight\} ight\} $ when $n\geq 4$.

研究动机与目标

• 确定完全多部图的线图的游戏控制数的精确值。
• 刻画在这些图上控制游戏中Dominator和Staller的最优策略。
• 为Dominator先手和Staller先手的游戏控制数建立闭式表达式。
• 通过分析完全多部图中的边控制结构，推导出紧致界。
• 通过匹配和控制分析，证明Staller的半贪婪策略的最优性。

提出的方法

• 本文使用完全多部图的结构分解，并分析其线图中的边控制。
• 提出一种Staller的半贪婪策略，优先选择与最大独立集中的顶点相连的边。
• 通过最大匹配和顶点覆盖分析，结合上下界推导出游戏控制数。
• 通过移除顶点并分析所得子图，使用递归约化推导出递推关系。
• 应用一个恒等式：图的边游戏控制数等于其线图的顶点游戏控制数。
• 通过部分集大小及其组合的和的最大值和上取整函数，推导出关键公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Dominator先手时，完全多部图 $ K_{\bar{m}} $ 的线图的游戏控制数的精确值是什么？
• RQ2 Staller先手时的游戏控制数有何不同，其值由什么决定？
• RQ3 能否在这些图的控制游戏中为双方玩家正式描述最优策略？
• RQ4 两个最大部分集的大小在确定游戏控制数中起什么作用？
• RQ5 Staller的半贪婪策略是否最优，与纯粹贪婪策略相比如何？

主要发现

• 对于满足 $ m_1 \leq \cdots \leq m_n $ 且 $ n \geq 2 $ 的完全多部图 $ K_{\bar{m}} $，其线图的游戏控制数为 $ \gamma_g(L(K_{\bar{m}})) = \min\left\{ \left\lceil \frac{2}{3}|V(K_{\bar{m}})| \right\rceil, \; 2\max\left\{ \left\lceil \frac{1}{2}(m_1+\cdots+m_{n-1}) \right\rceil, \; m_{n-1} \right\} \right\} - 1 $。
• 对于 $ n \geq 4 $ 的 $ L(K_{\bar{m}}) $ 上的Staller先手游戏，游戏控制数为 $ \gamma_g'(L(K_{\bar{m}})) = \min\left\{ \left\lceil \frac{2}{3}(|V(K_{\bar{m}})|-2) \right\rceil, \; 2\max\left\{ \left\lceil \frac{1}{2}(m_1+\cdots+m_{n-1}-1) \right\rceil, \; m_{n-1} \right\} \right\} $。
• Staller的半贪婪策略被证明是最优的，优于优先选择最大独立集的纯粹贪婪策略。
• 当 $ m_{n-1} = m_n $ 时，Staller先手游戏数的公式通过 $ \mu $ 和 $ \eta $ 进行调整，以反映两个最大部分的对称性。
• 结果表明，游戏控制数由全局顶点数和局部部分集大小约束的组合紧密界定。
• 本文确认了 $ \gamma_{e,g}(G) = \gamma_g(L(G)) $，验证了线图上边控制与顶点控制游戏的等价性。