[论文解读] Domination number of middle graphs

Farshad Kazemnejad, Behnaz Pahlavsay+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文研究了中间图的支配数，根据原图的阶数建立了紧致的上下界，并计算了星图、环图、轮图和友谊图等关键图族的精确值。此外，还推导出关于图及其补图中间图的支配数之和与积的紧致Nordhaus-Gaddum型不等式。

ABSTRACT

In this paper, we study the domination number of middle graphs. Indeed, we obtain tight bounds for this number in terms of the order of the graph. We also compute the domination number of some families of graphs such as star graphs, double start graphs, path graphs, cycle graphs, wheel graphs, complete graphs, complete bipartite graphs and friendship graphs, explicitly. Moreover, some Nordhaus-Gaddum-like relations are presented for the domination number of middle graphs.

研究动机与目标

• 根据原图的阶数，确定中间图支配数的紧致上下界。
• 计算特定图族（包括星图、双星图、路径图、环图、轮图、完全图、完全二部图和友谊图）的精确支配数。
• 建立中间图及其补图支配数的Nordhaus-Gaddum型关系。
• 将中间图的支配数与原图的边覆盖数联系起来。

提出的方法

• 利用引理2.1，证明M(G)中的任意支配集均可转化为完全包含在E(G)中的支配集，从而简化分析。
• 应用引理2.2，基于顶点删除推导出γ(M(G))的递归界，将γ(M(G))与γ(M(G\v))关联起来。
• 利用定理2.7，建立下界γ(M(G)) ≥ ⌈n/2⌉，适用于阶数为n且无孤立顶点的图。
• 通过结构分析和对特定图族的分情况计算，推导出γ(M(G))的精确值。
• 应用关于线图和诱导子图支配数的已知结果，推导出M(G)的界。
• 在假设G和Ḡ均无孤立顶点的前提下，通过结合对γ(M(G))和γ(M(Ḡ))的界，推导出Nordhaus-Gaddum型不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 以G的阶数n表示，中间图M(G)的支配数的紧致上下界是什么？
• RQ2 对于星图、环图、轮图和友谊图等基本图族，中间图M(G)的精确支配数γ(M(G))是多少？
• RQ3 M(G)和M(Ḡ)的支配数之间有何关系？它们的和与积的最佳可能界是什么？
• RQ4 中间图M(G)的支配数能否与其他图不变量（如G的边覆盖数）相关联？

主要发现

• 对于任意阶数n ≥ 2且无孤立顶点的图G，其中间图M(G)的支配数满足⌈n/2⌉ ≤ γ(M(G)) ≤ n−2。
• 对于星图K₁,n，其中间图的支配数恰好为n，即γ(M(K₁,n)) = n。
• 对于完全图Kₙ，其中间图的支配数为γ(M(Kₙ)) = ⌈n/2⌉。
• 对于完全二部图Kₙ₁,ₙ₂（其中n₁ ≤ n₂），其中间图的支配数恰好为n₂，即γ(M(Kₙ₁,ₙ₂)) = n₂。
• 对于友谊图Fₙ，其中间图的支配数为n+1，即γ(M(Fₙ)) = n+1。
• M(G)与M(Ḡ)的Nordhaus-Gaddum型不等式是紧致的：2⌈n/2⌉ ≤ γ(M(G)) + γ(M(Ḡ)) ≤ 2(n−2) 以及 (⌈n/2⌉)² ≤ γ(M(G))·γ(M(Ḡ)) ≤ (n−2)²，且在C₄及其他图中可达到等号。