[论文解读] Domination Parameters of the Unitary Cayley Graph of $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Amanda Burcroff|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文研究了在 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 上的单位 Cayley 图 $X_n$ 中的控制参数，重点关注总控制数、非冗余数和独立数。它构造了无穷多个具有任意多个素因子的整数 $n$ 的族，使得总控制数 $\gamma_t(X_n) \leq g(n) - 2$，其中 $g(n)$ 是 Jacobsthal 函数，从而正面回答了 Defant 和 Iyer 提出的两个开放问题。

ABSTRACT

The unitary Cayley graph of $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, denoted $X_n$, is the graph on $\{0,\dots,n-1\}$ where vertices $a$ and $b$ are adjacent if and only if $\gcd(a-b,n) = 1$. We answer a question of Defant and Iyer by constructing a family of infinitely many integers $n$ such that $γ_t(X_n) \leq g(n) - 2$, where $γ_t$ denotes the total domination number and $g$ denotes the Jacobsthal function. We determine the irredundance number, domination number, and lower independence number of certain direct products of complete graphs and give bounds for these parameters for any direct product of complete graphs. We provide upper bounds on the size of irredundant sets in direct products of balanced, complete multipartite graphs which are asymptotically correct for the unitary Cayley graphs of integers with a bounded smallest prime factor.

研究动机与目标

• 为解决关于存在整数 $n$ 使得 $\gamma_t(X_n) \leq g(n)-2$ 和 $\gamma(X_n) \leq g(n)-2$ 的开放问题。
• 确定完全图直积的控制参数——非冗余数、控制数和下独立数。
• 通过分析其结构为平衡完全多部图的直积，扩展 $X_n$ 的结果。
• 探索控制参数在高阶直积中对分量图大小的依赖性。
• 推测对于平衡完全多部图的直积，有 $\operatorname{IR}(G) = \alpha(G)$，推广已知结果。

提出的方法

• 利用中国剩余定理，通过同构 $X_n \cong \prod_{i=1}^t K[p_i^{\alpha_i-1}, p_i]$ 处理素数幂。
• 应用组合论证和抽屉原理，界定完全多部图直积中非冗余集的大小。
• 在 $X_n$ 中构造大小为 $g(n)-2$ 的控制圈，以建立 $\gamma_t(X_n)$ 的上界。
• 通过分析私有邻居和向量投影，推导出对假设的非冗余集大小的矛盾。
• 利用已知的 gcd-图结果和特征值整性，建议将结果推广至更广泛的图族。
• 改编 Defant 和 Iyer 的技术，计算平衡完全多部图直积中的上界非冗余数和上界控制数。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在无穷多个整数 $n$ 使得 $\gamma_t(X_n) \leq g(n) - 2$？
• RQ2 这样的整数 $n$ 能否具有任意多个不同的素因子？
• RQ3 是否存在单个整数 $n$ 使得 $\gamma_t(X_n) \leq g(n) - 3$？
• RQ4 对于哪些无平方因子的 $n$，有 $\operatorname{ir}(X_n) = i(X_n)$ 成立？
• RQ5 在 $\prod_{i=1}^t K_{n_i}$ 中，控制参数在何时依赖于所有 $n_i$？

主要发现

• 本文构造了一个无穷多个具有任意多个不同素因子的整数 $n$ 的族，使得 $\gamma_t(X_n) \leq g(n) - 2$，从而正面回答了 Defant 和 Iyer 的两个问题。
• 证明了对无穷多个 $n$，有 $\gamma_t(X_n) \leq g(n) - 2$ 成立，且 $X_n$ 包含一个大小为 $g(n) - 2$ 的控制圈，该圈是总控制集。
• 对于完全图的直积，本文在最多三个因子的情况下，确定了非冗余数、控制数和下独立数。
• 证明了当 $n$ 为素数、$n = 2p$、$n = 3p$（$p$ 为素数）或 $n$ 为无平方因子且恰有三个素因子时，有 $\operatorname{ir}(X_n) = i(X_n)$。
• 本文证明了 $K_a \times K_b \times K_c$ 的控制数与 $a$、$b$ 和 $c$ 无关，但当有四个因子时，其控制数依赖于所有四个大小。
• 本文提出猜想：对任意直积 $G = \prod_{i=1}^t K[a_i, b_i]$，有 $\operatorname{IR}(G) = \alpha(G)$，推广了关于强完美图的结果。