[论文解读] Domination Polynomials of Graph Products

Tomer Kotek, James Preen+1 more|arXiv (Cornell University)|May 7, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 22被引用 12

一句话总结

本文建立了各种图积（包括与完全图和路径的笛卡尔积及强积）的支配多项式递推关系与显式公式。证明了通过图灵归约计算支配多项式是#P-难的，表明其在特定图族之外具有计算不可解性。

ABSTRACT

The domination polynomials of binary graph operations, aside from union, join and corona, have not been widely studied. We compute and prove recurrence formulae and properties of the domination polynomials of families of graphs obtained by various products, ranging from explicit formulae and recurrences for specific families to more general results. As an application, we show the domination polynomial is computationally hard to evaluate.

研究动机与目标

• 开发图积（特别是笛卡尔积与强积）的支配多项式递推关系与显式公式。
• 将已知的支配多项式结果扩展至并、联接与冠操作之外。
• 分析在各类图族中求值支配多项式的计算复杂度。
• 探索涉及完全图与路径的图积中支配多项式的结构性质。
• 建立图积中递推结构与支配多项式求值困难性之间的联系。

提出的方法

• 基于图积顶点集中的子集支配，推导出 $ D(G \square K_2, x) $ 的分解公式。
• 利用强积结构 $ G \boxtimes K_r $，将 $ D(G \boxtimes K_r, x) $ 表示为 $ D(G, (1+x)^r - 1) $ 的形式，从而实现递归求值。
• 应用生成函数与对角提取技术，推导 $ P_n \square K_r $ 的递推关系，利用系数中的线性递推。
• 采用图灵归约框架：通过访问 $ D(-, \gamma) $ 的预言机（其中 $ \gamma $ 为有理数且 $ \gamma \notin \{0, -1, -2\} $），实现对完整多项式 $ D(G, x) $ 的插值。
• 利用 $ D(G \boxtimes K_r, \gamma) = D(G, (1+\gamma)^r - 1) $ 的事实，将多项式求值归约为有限个预言机查询。
• 通过在 $ n+1 $ 个不同点 $ (1+\gamma)^i - 1 $ 上进行插值，重构出次数为 $ n $ 的多项式 $ D(G, x) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般图 $ G $ 的 $ G \square K_s $、$ G \square P_s $ 与 $ G \square C_s $ 推导出支配多项式的递推关系？
• RQ2 是否存在 $ G \boxtimes P_s $ 与 $ G \boxtimes C_s $ 的强积公式类比？能否由此导出显式公式？
• RQ3 哪些图积家族的支配多项式具有简单、封闭形式的表达式，类似于定理 3.2？
• RQ4 图积的哪些结构性质会导致其支配多项式系数满足线性递推关系？
• RQ5 计算 $ D(G, -1) $ 与 $ D(G, -2) $ 的难度如何？尽管 $ D(G, 0) $ 可在多项式时间内计算。

主要发现

• 推导出 $ D(G \square K_2, x) $ 的封闭表达式，表明其依赖于子集 $ W \subseteq V(G) $ 及其邻域。
• 对任意图 $ G $，有 $ D(G \boxtimes K_r, x) = D(G, (1+x)^r - 1) $，从而可将强积多项式转化为原多项式的求值。
• 通过仅使用六个更小的图，建立了 $ D(P_n \square K_r, x) $ 的递推关系，推广了关于路径积的早期结果。
• 若 $ \gamma \notin \{0, -1, -2\} $，则可通过在 $ n+1 $ 个不同点 $ (1+\gamma)^i - 1 $ 上进行 $ n+1 $ 次求值，在多项式时间内插值出 $ D(G, x) $。
• 对所有有理数 $ \gamma \notin \{0, -1, -2\} $，$ D(-, \gamma) $ 的求值是#P-难的，通过从完整多项式计算图灵归约证明。
• 尽管 $ D(-, 0) $ 可在多项式时间内计算，$ D(-, -1) $ 与 $ D(-, -2) $ 的复杂度仍为开放问题。