[论文解读] Domination Problems in Nowhere-Dense Classes of Graphs

Anuj Dawar, Stephan Kreutzer|ArXiv.org|Jul 24, 2009

Advanced Graph Theory Research参考文献 23被引用 9

一句话总结

本文证明了距离-d支配集问题——以及若干相关支配问题——在无处稠密图类上是固定参数可追踪的（FPT）。作者通过利用此类图类的统一拟宽性（uniform quasi-wideness）性质，避免依赖深层结构定理，证明了该结论，并将先前关于H-极小图自由、有界扩张及局部排除极小图类的结果推广至更广泛的无处稠密图类。

ABSTRACT

We investigate the parameterized complexity of generalisations and variations of the dominating set problem on classes of graphs that are nowhere dense. In particular, we show that the distance-d dominating-set problem, also known as the (k,d)-centres problem, is fixed-parameter tractable on any class that is nowhere dense and closed under induced subgraphs. This generalises known results about the dominating set problem on H-minor free classes, classes with locally excluded minors and classes of graphs of bounded expansion. A key feature of our proof is that it is based simply on the fact that these graph classes are uniformly quasi-wide, and does not rely on a structural decomposition. Our result also establishes that the distance-d dominating-set problem is FPT on classes of bounded expansion, answering a question of Ne{\v s}et{ř}il and Ossona de Mendez.

研究动机与目标

• 研究稀疏图类中支配问题的固定参数可追踪性。
• 将已知的关于H-极小图自由图和有界扩张图的FPT结果推广至更广泛的无处稠密图类。
• 证明统一拟宽性——一种组合性质——足以保证支配问题的FPT可追踪性。
• 解决Nešetřil与Ossona de Mendez提出的一个开放问题：在有界扩张类上，距离-d支配集问题的FPT状态。
• 提供一种更简单、基于组合的证明框架，避免使用复杂的图结构理论。

提出的方法

• 以无处稠密图类的统一拟宽性作为核心结构假设。
• 基于识别满足G\S中包含一个大的2-分散集的小顶点集S，使用递归算法过程。
• 将此方法应用于限制罗马支配中必须标记为非零值的顶点数量，从而实现参数化递归。
• 将支配问题约化为：存在一个有界大小的集合S，其中必须包含一个关键顶点（例如罗马支配中的标记为2的顶点），从而实现有界深度的递归。
• 通过可定义集合和递归分解，隐式运用一阶逻辑与模型检测原理。
• 通过证明所有此类支配变体均满足对小集合的类似结构约束，将该方法推广至多种支配变体。

实验结果

研究问题

• RQ1 距离-d支配集问题在无处稠密图类上是否是固定参数可追踪的？
• RQ2 能否将有界扩张图和H-极小图自由图上支配问题的FPT状态统一到一个更简单、统一的框架下？
• RQ3 仅靠统一拟宽性是否足以确保支配问题的FPT可追踪性，而无需依赖更深层的结构分解？
• RQ4 能否肯定地解决关于有界扩张类上距离-d支配集问题FPT状态的开放问题？
• RQ5 一阶逻辑模型检测在无处稠密类上的算法可追踪性范围有多大？

主要发现

• 距离-d支配集问题在所有无处稠密图类上均为FPT，推广了H-极小图自由、有界扩张及局部排除极小图类的结果。
• 证明仅依赖于统一拟宽性，避免了复杂的图极小理论，简化了先前的方法。
• 该结果解决了Nešetřil与Ossona de Mendez提出的一个开放问题：关于有界扩张类上距离-d支配集问题的FPT状态。
• 大量支配问题——包括罗马支配、连通支配集和高效支配集——均被证明在无处稠密类上为FPT。
• 该方法提供了一个清晰、组合的统一框架，适用于多种支配变体。
• 有向不相交路径问题即使在度数为4的图（属于无处稠密类）上仍为W[1]-难，表明该类中并非所有问题都具有可追踪性。