[论文解读] Domination subdivision and domination multisubdivision numbers of graphs

Magda Dettlaff, Joanna Raczek+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文引入了支配多细分数（msd(G)）作为支配细分数（sd(G)）的改进，证明了对所有图均有 msd(G) ≤ 3，且对树而言 msd(G) = sd(G)。本文还证明了支配细分决策问题即使在二分图中也是 NP-完全的，并通过支持顶点的结构操作与路径扩展，刻画了满足 msd(T) = 1 和 msd(T) = 3 的树。

ABSTRACT

The \emph{domination subdivision number} sd$(G)$ of a graph $G$ is the minimum number of edges that must be subdivided (where an edge can be subdivided at most once) in order to increase the domination number of $G$. It has been shown \cite{vel} that sd$(T)\leq 3$ for any tree $T$. We prove that the decision problem of the domination subdivision number is NP-complete even for bipartite graphs. For this reason we define the \emph{domination multisubdivision number} of a nonempty graph $G$ as a minimum positive integer $k$ such that there exists an edge which must be subdivided $k$ times to increase the domination number of $G$. We show that msd$(G)\leq 3$ for any graph $G$. The domination subdivision number and the domination multisubdivision numer of a graph are incomparable in general case, but we show that for trees these two parameters are equal. We also determine domination multisubdivision number for some classes of graphs.

研究动机与目标

• 通过引入支配多细分数（msd(G)）这一新参数，解决支配细分数问题的计算难解性。
• 证明支配细分决策问题的 NP-完全性，即使在限制为二分图时亦成立。
• 证明对于所有至少有一条边的连通图 G，均有 msd(G) ≤ 3。
• 通过图的结构操作刻画满足 msd(T) = 1 和 msd(T) = 3 的树。
• 证明对于树而言 msd(T) = sd(T)，从而解决这两个参数之间的关系。

提出的方法

• 将支配多细分数 msd(G) 定义为最小的 k，使得对某条边进行 k 次细分后，支配数增加。
• 从 3-SAT 构造多项式时间归约，以证明支配细分决策问题的 NP-完全性。
• 引入一族由两个操作 T1 和 T2 从单个顶点生成的树 F，用于刻画满足 msd(T) = 3 的树。
• 通过路径与支持顶点的结构分析，证明满足 msd(T) = 3 的树必须属于族 F。
• 通过顶点数的归纳法，证明满足 msd(T) = 3 的树可由 T1 和 T2 操作生成。
• 利用私有邻域与支配集的性质，验证高重数边的细分可保持或增加支配数。

实验结果

研究问题

• RQ1 支配细分数决策问题在二分图中是否为 NP-完全？
• RQ2 在所有图中，支配多细分数的最大可能值是多少？
• RQ3 对于哪些树，支配多细分数等于 1？其结构条件是什么？
• RQ4 在树中，支配多细分数与支配细分数之间有何关系？
• RQ5 所有满足 msd(T) = 3 的树是否都能通过有限组图操作来刻画？

主要发现

• 支配细分数决策问题即使在二分图中也是 NP-完全的。
• 对于每个至少有一条边的连通图 G，支配多细分数 msd(G) 不超过 3。
• 对于任意树 T，支配多细分数 msd(T) 等于支配细分数 sd(T)。
• 满足 msd(T) = 1 的树的特征为：存在一个不在任何最小支配集中出现的叶子，或存在一条其两个端点均不在任何最小支配集中的边。
• 满足 msd(T) = 3 的树恰好是那些从长度为 2 的路径出发，通过操作 T1 和 T2 从单个顶点生成的树。
• 满足 msd(T) = 3 的树族 F 在操作 T1 和 T2 下封闭，且每一棵此类树均可通过这些操作生成。