[论文解读] Dominator Colorings of Digraphs

Michael Cary|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文引入了有向图（digraphs）的支配着色，确定了路径和环的所有定向中最小支配着色数。研究发现子图的支配着色数可能高于其超图——这与标准着色直觉相悖——并引入了一个新不变量 $\varsigma^\star(D)$，用于衡量由于定向导致的支配着色数与标准着色数之间的差异。

ABSTRACT

This paper serves as the first extension of the topic of dominator colorings of graphs to the setting of digraphs. We establish the dominator chromatic number over all possible orientations of paths and cycles. In this endeavor we discover that there are infinitely many counterexamples of a graph and subgraph pair for which the subgraph has a larger dominator chromatic number than the larger graph into which it embeds. Finally, a new graph invariant measuring the difference between the dominator chromatic number of a graph and the chromatic number of that graph is established and studied. The paper concludes with some of the possible avenues for extending this line of research.

研究动机与目标

• 将支配着色的概念从无向图扩展到有向图（digraphs）。
• 确定给定图结构的所有可能定向中最小支配着色数 $\chi_d(D)$。
• 研究子有向图的支配着色数是否可能超过其超有向图，从而挑战标准着色的单调性。
• 定义并研究一个新的图不变量 $\varsigma^\star(D)$，用于量化在底层无向图的所有定向中 $\chi_d(D)$ 与 $\chi(G_D)$ 的最大差异。
• 识别支配着色在有向图中的开放问题与未来研究方向。

提出的方法

• 将有向图 $D$ 的支配着色定义为一种正常顶点着色，其中每个顶点通过其出边支配某个颜色类。
• 使用 $\chi_d(D)$ 表示在所有底层无向图 $G_D$ 的定向中，任意支配着色所用的最少颜色类数。
• 通过分析有向路径 $P_n$ 和有向环 $C_n$ 的出度序列，并识别最优着色，来研究这些图。
• 证明 $\chi_d(P_4) = 3 > 2 = \chi_d(C_4)$，表明子图的支配着色数可能大于其超图。
• 引入不变量 $\varsigma(D) = \chi_d(D) - \chi(G_D)$ 及其最大形式 $\varsigma^\star(D) = \max\{\varsigma(D)\}$，以量化定向引起的与标准着色数的偏差。
• 基于 $n \mod 4$，为路径和环建立 $\varsigma^\star(\cdot)$ 的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有向图满足 $\chi_d(D) = \chi(D)$，即 $\varsigma^\star(D) = 0$？
• RQ2 在什么情况下 $\chi_d(D)$ 对于底层图 $G_D$ 的所有定向保持不变？
• RQ3 在什么情况下 $\chi_d(D)$ 在弧反向下保持不变，即 $\chi_d(D) = \chi_d(D^{-})$？
• RQ4 定理3（刻画 $\chi_d(D) = 2$ 的图）能否推广到部分集中的更大支配结构？
• RQ5 哪些有向图族满足 $\limsup_{n\to\infty} \frac{\chi_d(D)}{\Delta(D)} = r$，其中 $r \in \mathbb{R}$？

主要发现

• 有向图的支配着色数关于子图不具有单调性：$\chi_d(P_4) = 3 > 2 = \chi_d(C_4)$，表明子图的支配着色数可能大于其超图。
• 对于有向路径，$\varsigma^\star(P_n)$ 的表达式为：若 $n=4k$，则为 $3k-2$；若 $n=4k+1$ 或 $n=4k+2$，则为 $3k-1$；若 $n=4k+3$，则为 $3k$。对于有向环，$\varsigma^\star(C_n)$ 的表达式为：若 $n=4k$ 或 $n=4k+1$，则为 $3k-2$；若 $n=4k+2$，则为 $3k-1$；若 $n=4k+3$，则为 $3k$。
• 不变量 $\varsigma^\star(D)$ 始终为非负数，因为根据观察1有 $\chi_d(D) \geq \chi(G_D)$。
• 对于完全图 $K_n$ 和完全二部图 $K_{m,n}$（所有边从一个部分指向另一部分），有 $\varsigma^\star(K_n) = \varsigma^\star(K_{m,n}) = 0$，意味着其支配着色数与标准着色数一致。
• 有向图的支配着色数不被其最大度数所限制，表明其与标准顶点着色存在根本性差异。
• 本文指出 $\chi_d(D)$ 可能在定向后增加，并引入 $\delta(D,H) = \chi_d(H) - \chi_d(D)$ 来量化子图关系中的此类偏差。