[论文解读] Donaldson-Thomas invariants of abelian threefolds and Bridgeland stability conditions

Georg Oberdieck, Dulip Piyaratne+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用 4

一句话总结

该论文通过布里吉代尔稳定性条件，证明了阿贝尔三倍的约化唐纳森-托马斯不变量在导出自同构下保持不变，仅需显式壁穿跃校正项。它证明了某些稳定性条件的完整支撑性质，确认了吉泽克腔的存在，并通过判别函数提供了壁穿跃的数值准则，为秩一霍奇数情形下的猜想曲线计数公式提供了有力证据。

ABSTRACT

We study the reduced Donaldson-Thomas theory of abelian threefolds using Bridgeland stability conditions. The main result is the invariance of the reduced Donaldson-Thomas invariants under all derived autoequivalences, up to explicitly given wall-crossing terms. We also present a numerical criterion for the absence of walls in terms of a discriminant function. For principally polarized abelian threefolds of Picard rank one, the wall-crossing contributions are discussed in detail. The discussion yield evidence for a conjectural formula for curve counting invariants by Bryan, Pandharipande, Yin, and the first author. For the proof we strengthen several known results on Bridgeland stability conditions of abelian threefolds. We show that certain previously constructed stability conditions satisfy the full support property. In particular, the stability manifold is non-empty. We also prove the existence of a Gieseker chamber and determine all wall-crossing contributions. A definition of reduced generalized Donaldson-Thomas invariants for arbitrary Calabi-Yau threefolds with abelian actions is given.

研究动机与目标

• 建立阿贝尔三倍的约化唐纳森-托马斯不变量在导出自同构下的不变性，仅需显式壁穿跃校正项。
• 通过证明阿贝尔三倍上某些稳定性条件的完整支撑性质，强化布里吉代尔稳定性条件的基础性结果。
• 在阿贝尔三倍的背景下，通过判别函数提供壁不存在的数值准则。
• 确定所有壁穿跃贡献并确认稳定性流形中吉泽克腔的存在。
• 为普林西佩斯极化阿贝尔三倍在霍奇数为一的情形下的猜想曲线计数公式提供证据。

提出的方法

• 作者使用布里吉代尔稳定性条件分析阿贝尔三倍的导出范畴中半稳定对象的模空间。
• 他们证明了某些先前构造的稳定性条件满足完整支撑性质，从而确保稳定性流形非空。
• 通过研究稳定性流形中各壁上的不变量行为，分析壁穿跃现象，并显式计算其贡献。
• 在上同调代数的偶数阶部分上构造了一个关于Spin(12)作用不变的判别函数Δ，并用于检测壁穿跃。
• 通过$A \times \widehat{A}$-等变动机霍尔代数定义约化唐纳森-托马斯不变量，从而实现仅需壁穿跃项的不变性。
• 从Δ在某些类上的消失性推导出壁不存在的数值准则，将代数几何与表示理论联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 阿贝尔三倍的约化唐纳森-托马斯不变量在导出自同构下如何变换？壁穿跃会产生何种校正？
• RQ2 在阿贝尔三倍的稳定性流形中，壁不存在的条件是什么？如何以数值方式捕捉这一性质？
• RQ3 布里吉代尔稳定性条件在阿贝尔三倍上是否可建立完整支撑性质？这对稳定性流形的结构有何含义？
• RQ4 在普林西佩斯极化阿贝尔三倍且霍奇数为一的情形下，壁穿跃贡献的精确形式是什么？
• RQ5 上同调代数上的判别函数Δ是否能检测壁的不存在性？它与已知的曲线计数猜想有何关联？

主要发现

• 阿贝尔三倍的约化唐纳森-托马斯不变量在所有导出自同构下保持不变，仅需显式计算的壁穿跃项。
• 在阿贝尔三倍上，某些布里吉代尔稳定性条件的完整支撑性质已确立，确保了稳定性流形非空。
• 稳定性流形中存在一个吉泽克腔，且所有壁穿跃贡献均已完全确定。
• 构造了一个唯一的、关于Spin(12)作用不变的四次齐次多项式Δ，其在偶数阶上同调上定义，满足Δ(1 + x₁⋯x₆) = -1，且在e^ω（ω ∈ ⋀²U）上消失。
• 对于霍奇数为一的普林西佩斯极化阿贝尔三倍，壁穿跃贡献已详细计算，为猜想的曲线计数公式提供了强有力证据。
• 判别函数Δ满足恒等式Δ(r₁e^{ω₁} + r₂e^{ω₂}) = -β(r₁e^{ω₁}, r₂e^{ω₂})²，将不变量与欧拉配对β联系起来。