[论文解读] Donaldson-Thomas trasnsformations of moduli spaces of G-local systems

A. B. Goncharov, Linhui Shen|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 43被引用 16

一句话总结

本文证明了在带装饰的曲面上，PGL_m-局部系统模空间上的Weyl群作用与对偶性对合通过簇泊松变换实现，并计算了这些空间的唐纳森-托马斯变换。利用Keller关于簇DT-变换的框架以及Gross-Hacking-Keel-Kontsevich的结果，本文为模空间X_PGL_m,S上的正则函数环和SL_m的Fomin-Zelevinsky上簇代数构造了典范基，从而在该设定下证实了对偶性猜想。

ABSTRACT

Kontsevich and Soibelman defined Donaldson-Thomas invariants of a 3d Calabi-Yau category equipped with a stability condition. Any cluster variety gives rise to a family of such categories. Their DT invariants are encapsulated in a single formal automorphism of the cluster variety, called the DT-transformation. Let S be an oriented surface with punctures, and a finite number of special points on the boundary considered modulo isotopy. It give rise to a moduli space X(m, S), closely related to the moduli space of PGL(m)-local systems on S, which carries a canonical cluster Poisson variety structure. For each puncture of S, there is a birational Weyl group action on the space X(m, S). We prove that it is given by cluster Poisson transformations. We prove a similar result for the involution * of the space X(m,S) provided by dualising a local system on S. We calculate the DT-transformation of the moduli space X(m,S), with few exceptions. Namely, let C(m,S) be the transformation of the space X(m,S) given by the product of three commuting maps: the involution *, the product, over all punctures of S, of the longest element of the Weyl group action corresponding to the puncture, and the "shift of the special points on the boundary by one" map. Using a characterisation of a class of DT-transformations due to Keller, we prove that C(m,S) = DT. We prove that, burring few exceptions, the Weyl group and the involution * act by cluster transformations of the dual moduli space A(m, S). So the formula C(m,S) = DT is valid for the space A(m,S). Our main result, combined with the work of Gross, Hacking, Keel and Kontsevich, deliver a canonical basis in the space of regular functions on the cluster variety X(m,S), and in the upper cluster algebra with principal coefficients related to the pair (SL(m), S), with few exceptions.

研究动机与目标

• 确定Weyl群与对偶性对合在G-局部系统模空间上何时作为簇变换作用。
• 计算带装饰曲面S上PGL_m-局部系统模空间X_PGL_m,S的唐纳森-托马斯变换。
• 建立X_PGL_m,S上正则函数环与SL_m上簇代数中典范基的存在性，如对偶性猜想所预测。
• 通过曲面上的叶状结构与理想三角剖分，为簇DT-变换提供几何实现。
• 通过组合与几何方法，将簇DT-变换的框架扩展至局部系统模空间。

提出的方法

• 使用Fock与Goncharov为带 punctures 和特殊边界点的曲面定义的X_PGL_m,S上的簇泊松结构。
• 应用Keller对簇DT-变换的分类，计算满足条件的带装饰曲面S（g(S) + μ ≥ 3 或为含两个特殊点的环面）的DT-变换。
• 通过翻转序列与框架传递分析最长Weyl群元素w_0在理想三角剖分与叶状结构上的作用。
• 利用Weyl群作用与映射类群作用的热带化，验证变换的簇性质。
• 使用局部系统上的对偶性对合∗，并证明其通过在对偶A空间上的Schützenberger对合作为簇变换实现。
• 结合GHKK的典范基构造方法，证明X_PGL_m,S与SL_m上簇代数中典范基的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在带装饰曲面S上，PGL_m-局部系统模空间X_PGL_m,S上的Weyl群作用是否为簇变换？
• RQ2 X_PGL_m,S上的对偶性对合∗（由局部系统的对偶化诱导）是否为簇变换？
• RQ3 当S为可接受时，簇泊松流形X_PGL_m,S的唐纳森-托马斯变换的显式形式为何？
• RQ4 Weyl群与对偶性作用在对偶A空间A_SL_m,S上如何提升？它们在该空间中是否为簇变换？
• RQ5 Fomin-Zelevinsky与Fock-Goncharov所猜想的典范基能否通过簇DT-变换与叶状结构实现几何构造？

主要发现

• 对于任意可接受的带装饰曲面S，X_PGL_m,S上的Weyl群作用由簇泊松变换实现。
• X_PGL_m,S上的对偶性对合∗作为簇变换作用，其作用通过在对偶A空间上的Schützenberger对合实现。
• 利用Keller关于簇DT-变换的框架，显式计算了X_PGL_m,S的唐纳森-托马斯变换。
• 对于可接受的S，X_PGL_m,S上正则函数的典范基通过GHKK方法构造，从而证实了对偶性猜想。
• 对偶对(SL_m, S)的主系数上簇代数具有典范基，如对偶性猜想所预测。
• X_PGL_m,S的簇DT-变换通过叶状结构与理想三角剖分实现几何化，且通过翻转与框架传递验证了显式坐标变换。