[论文解读] Donaldson-Witten theory, surface operators and mock modular forms

Georgios Korpas|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 46被引用 6

一句话总结

本文通过引入一个 $\bar{\nabla}$-精确形变，重新诠释了含嵌入表面算符的唐纳森-维滕理论中 u 平面积分，将被积函数表达为一个不定 theta 函数的全微分——具体而言，这是一种混合的模拟模形式。对于 Kodaira 维数为 $-\infty$ 的凯勒流形，积分在库仑分支的无穷远尖点处局域化，揭示了拓扑不变量与模拟模形式之间深刻的联系。

ABSTRACT

We revisit the $u$-plane integral of the topologically twisted $\mathcal{N}=2$ super Yang-Mills theory, the Donaldson-Witten theory, on a closed four-manifold $X$ with embedded surfaces that support supersymmetric surface operators. This integral mathematically corresponds to the generating function of the ramified Donaldson invariants of $X$. By including a $\overline{\mathcal{Q}}$-exact deformation to the $u$-plane integral we are able to re-express its integrand in terms of a total derivative with respect to an indefinite theta function, a special kind of mock modular form. We show that for specific Kähler surfaces of Kodaira dimension $-\infty$ the integral localizes at the cusp at infinity of the Coulomb branch of the theory.

研究动机与目标

• 通过 $\bar{\nabla}$-精确形变，重新表述含表面算符的唐纳森-维滕理论中的 u 平面积分。
• 将形变后的被积函数表达为一个涉及不定 theta 函数的全微分，该函数为一种模拟模形式。
• 分析所得对象及其在 $\sigma L(2,\mathbb{Z})$ 作用下的模性质。
• 证明对于 Kodaira 维数为 $-\infty$ 的凯勒流形，u 平面积分在无穷远尖点处局域化。
• 阐明误差函数及其解析延拓在 theta 函数的收敛性与模完成性中的作用。

提出的方法

• 在拓扑扭曲的 $\chi=2$ 超杨-米尔斯理论的 u 平面积分中引入 $\bar{\nabla}$-精确形变。
• 将形变后的被积函数重写为一个签名为 $(1,1)$ 的不定 theta 函数的全微分，该函数为一种混合模拟模形式。
• 利用误差函数 $E(u)$ 定义的 theta 函数模完成性，其中 $E(u) = 2\int_0^u e^{-\pi t^2} dt$，以确保收敛性。
• 推导模群 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 生成元 $T$ 和 $S$ 作用下完成 theta 函数的模变换性质，展示涉及相位因子与参数平移的变换规则。
• 识别完成 theta 函数的影子为两个 Siegel-Narain theta 函数之差 $\Psi_{\bm{\mu}}^J - \Psi_{\bm{\mu}}^{J'}$，该差值控制其非全纯行为。
• 分析 $\tau_2 \to \infty$ 的极限情形，此时误差函数退化为符号函数，使 theta 函数简化为由 $J$ 和 $J'$ 定义的正锥中格点的和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过 $\pi$-精确形变重新表达唐纳森-维滕理论中 u 平面积分，以揭示其模性质？
• RQ2 包含误差函数完成的不定 theta 函数在描述分支唐纳森不变量生成函数中的作用是什么？
• RQ3 完成 theta 函数的模变换性质如何与理论的物理库仑分支结构相关联？
• RQ4 在何种条件下 u 平面积分在无穷远尖点处局域化？这对 Kodaira 维数为 $-\infty$ 的凯勒流形有何重要意义？
• RQ5 在此背景下，模拟模形式的影子与 Siegel-Narain theta 函数之间的精确关系为何？

主要发现

• 对于 Kodaira 维数为 $-\infty$ 的凯勒流形，u 平面积分在库仑分支的无穷远尖点处局域化，表明主要贡献来自大复结构极限。
• u 平面积分的被积函数被重写为一个完成不定 theta 函数的全微分，该函数为一种涉及误差函数 $E(u)$ 的混合模拟模形式。
• 完成 theta 函数的影子为 $\partial_{\bar{\tau}}\widehat{\Theta}_{\bm{\mu}}^{JJ'} = \Psi_{\bm{\mu}}^J - \Psi_{\bm{\mu}}^{J'}$，其中 $\Psi_{\bm{\mu}}^J$ 是与格 $\Lambda$ 相关的 Siegel-Narain theta 函数。
• 当格存在满足 $Q(J') = 0$ 的零向量 $J'$ 时，在 $\tau_2 \to \infty$ 的极限下，误差函数简化为符号函数，从而得到完成 theta 函数的简化表达式。
• 完成 theta 函数的模变换性质被显式推导，表明 $T$ 和 $S$ 通过涉及 $\bm{\mu}$ 和 $K$ 的相位平移与参数变换作用。
• 当且仅当 $J'$ 是格 $\Lambda$ 中的格向量时，该级数才收敛，否则完成性不成立，如 [71, 附录 B.3] 所示。