[论文解读] Double complex SUSY-transformations: deformations of real potentials and their spectral characteristics

Sergei P. Maydanyuk|ArXiv.org|Oct 22, 2007

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 62被引用 3

一句话总结

本文提出了一种新颖的双复数超对称量子力学（SUSY）变换方法，利用非简并的复能量对实势能进行精确变形，同时保持其实性与能谱特性。通过应用具有不同能量参数的复Darboux变换，该方法实现了对离散谱（如有限矩形势阱）和连续谱（如零势能）系统的连续、可解析处理的变形，生成新的等谱、无反射且非对称的双势阱，可完全控制其形状、深度与对称性，为现有形状不变模型提供了一种更简单的替代方案。

ABSTRACT

In paper approach of double complex SUSY-transformations with not coincident complex energies of transformation is developed, allowing to deform given real potential $V_{1}$ with obtaining exact solutions. The explicit solutions of the deformation of shape of the potential, its wave function at arbitrary energy, not coincident with energies of transformation, wave functions at the energies of transformation are obtained, condition of keeping of continuity of the solutions and isospectral condition are determined. Using a rectangular well of finite width with infinitely high walls as the starting $V_{1}$ with discrete energy spectrum, by the proposed approach new types of deformation of this potential with deformation of the energy spectrum as a whole have been obtained. The new potential contains the rectangular well as own partial case (with simultaneous transformation of the shape of this new potential, energy spectrum, wave functions of all bound states, wave function at arbitrary energy into corresponding characteristics of the rectangular well at needed choice of parameters). Using null potential as the starting $V_{1}$ with continuous energy spectrum, new form of reflectionless real potential has been constructed. This potential generalizes well-known reflectionless potential of the type $V_{ m ref}(x) = A^{2}(1-2 { m sech}^{2}{Ax})$, allowing: to pull down tails of the potential $V_{ m ref}$ in the asymptotic regions up to zero (with keeping of nonzero depth); to pull down continuously the depth of the hole; to displace arbitrary along axis $x$ the hole with its passing through zero; to create and to increase the second hole, transforming $V_{ m ref}$ into double-well potential; to control continuously and simply the asymmetry of the shape of such reflectionless potential.

研究动机与目标

• 开发一种方法，实现对实量子势能的连续、精确变形，同时保持其实性与能谱结构。
• 通过采用非重合的复能量变换参数，将超对称量子力学扩展至标准实能量变换之外。
• 构建新型等谱势能，包括形变的矩形势阱与广义无反射势能，具备可调的非对称性与深度。
• 为任意能量及变换能量下的波函数提供显式解析解，确保连续性与能谱不变性。
• 通过简单参数调节，实现对势能形状的实用控制，包括尾部行为、势阱深度与双势阱形成。

提出的方法

• 利用两个不同复数变换能量 $\mathcal{E}_1$ 与 $\mathcal{E}_2$ 的双复数SUSY变换，从初始实势能 $V_1$ 生成新势能。
• 基于因子分解法与Riccati方程框架，从变换能量下Schrödinger方程的解 $\phi_i^{(k)}$ 推导出超势 $W_i^{(k)}$。
• 通过一阶Darboux变换算符 $A_i = \frac{d}{dx} + W_i(x)$ 与 $A_i^+ = -\frac{d}{dx} + W_i(x)$ 生成等谱伙伴势能。
• 推导出形变势能 $V_2(x)$、任意能量下波函数 $\varphi_n^{(2)}$ 与变换能量下波函数 $\varphi_m^{(2)}$ 的显式闭式表达式。
• 通过施加波函数的连续性条件，并确保变换解中无发散或不连续现象，保证等谱性。
• 将该方法应用于两类关键初始势能：(1) 无限壁的有限矩形势阱（离散谱）；(2) 零势能（连续谱），生成新的势能类。

实验结果

研究问题

• RQ1 双复数SUSY变换是否能利用非重合的复能量参数，生成新的实势能，同时保持能谱等谱性与解的连续性？
• RQ2 如何通过复SUSY变换对有限矩形势阱实现连续形变？其能谱与波函数的演化行为如何？
• RQ3 能否利用该方法将著名的无反射势能 $V_{\rm ref}(x) = A^2(1 - 2\,{\rm sech}^2(Ax))$ 推广，以实现深度、非对称性与双势阱结构的可调？
• RQ4 在形变势能中，任意能量与变换能量下波函数的显式解析形式为何？
• RQ5 与现有形状不变或自相似模型相比，该方法在构建无反射势能方面能简化到何种程度？

主要发现

• 该方法成功从初始实势能 $V_1$ 生成新的实势能，未引入发散或不连续现象，确保波函数的连续性。
• 对于有限矩形势阱，该方法生成的新势能可在极限情况下还原为原始势阱，所有束缚态波函数与能级可通过参数调节实现连续形变。
• 零势能被变换为广义无反射势能，可连续控制尾部行为（拉至零）、势阱深度、位置（包括穿过零点）以及第二势阱的形成，最终演化为对称双势阱。
• 通过将 $\mathcal{E}_2$ 从 $-0.00001$ 变化至 $-19$，该方法可平滑地将对称单势阱转化为对称双势阱，证明了非对称性的连续控制能力。
• 所得无反射势能形式较现有形状不变或自相似无反射势能更简单，同时保持完全无反射特性，并满足参考文献[69]的构造规则。
• 任意能量与变换能量下的波函数已显式推导，且保持有限与连续，证实了等谱变换的有效性。