[论文解读] Double complexes and vanishing of Novikov cohomology

Thomas Huettemann|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文引入了双复形的非标准总化函子——左截断积与右截断积，用于证明：在有限生成表示模的余链复形上，自映射 $ h $ 的代数映射环面具有平凡的负诺维科夫上同调，且当 $ h $ 是拟同构时，其正诺维科夫上同调亦为平凡。作为关键应用，本文给出了一个全新的初等证明，表明在单变量洛朗多项式环上的有限控制余链复形具有平凡的（正与负）诺维科夫上同调。

ABSTRACT

We consider a non-standard totalisation functor to produce a cochain complex from a given double complex: instead of sums or products, totalisation is defined via truncated products of modules. We give an elementary proof of the fact that a double complex with exact rows (resp, columns) yields an acyclic cochain complex under totalisation using right (resp, left) truncated products. As an application we consider the algebraic mapping torus T(h) of a self map h of a cochain complex C. We show that if C consists of finitely presented modules then T(h) has trivial negative Novikov cohomology; if in addition h is a quasi-isomorphism, then T(h) has trivial positive Novikov cohomology as well. As a consequence we obtain a new proof that a finitely dominated cochain complex over a Laurent polynomial ring has trivial Novikov cohomology.

研究动机与目标

• 建立关于单变量洛朗多项式环上有限控制性的拉尼基准则的新、初等证明。
• 通过新颖的总化函子，研究余链复形映射环面的诺维科夫上同调的消失性。
• 阐明在映射环面与自映射背景下，正负诺维科夫上同调之间不对称性的根源。
• 通过双复形与形式洛朗级数，构建一个用于分析有限控制复形的概念框架。

提出的方法

• 为双复形引入左截断积总化函子与右截断积总化函子，替代标准的直和或直积。
• 将 $ R((z)) $ 和 $ R((z^{-1})) $ 定义为诺维科夫环，利用在左侧或右侧具有有限支集的形式洛朗级数。
• 将映射环面 $ T(h) $ 表示为双复形 $ D^{*,*} $ 的总复形，其微分分别为 $ d^h $ 与 $ d^v $，并利用 $ h $ 的锥构造。
• 应用引理 1.2：若 $ D^{*,*} $ 的列（或行）是正合的，则 $ {}^{ ext{lt}}\mathrm{Tot} \, D^{*,*} $（或 $ \mathrm{Tot}^{\text{rt}} \, D^{*,*} $）是上同调平凡的。
• 通过识别 $ C \otimes_R R((z^{-1})) \cong \mathrm{Tot}^{\text{rt}}(D^{*,*}) $ 与 $ C \otimes_R R((z)) \cong {}^\text{lt}\mathrm{Tot}(D^{*,*}) $，将诺维科夫上同调与总化函子的上同调平凡性联系起来。
• 在正合性条件下应用总化函子的上同调平凡性，得出关于 $ h $ 及其变体的诺维科罗上同调消失的结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，余链复形上自映射的代数映射环面具有平凡的负诺维科夫上同调？
• RQ2 在何种条件下，此类映射环面的正诺维科夫上同调消失？
• RQ3 如何利用双复形的截断总化函子更清晰地分析诺维科夫上同调？
• RQ4 能否使用初等同调代数方法重新证明拉尼基关于洛朗多项式环上有限控制性的准则？
• RQ5 在映射环面的背景下，正负诺维科夫上同调之间不对称性的根源是什么？

主要发现

• 根据引理 1.2，若双复形 $ D^{*,*} $ 的列是正合的，则左截断总化函子 $ {}^\text{lt}\mathrm{Tot} \, D^{*,*} $ 是上同调平凡的。
• 若双复形 $ D^{*,*} $ 的行是正合的，则右截断总化函子 $ \mathrm{Tot}^{\text{rt}} \, D^{*,*} $ 是上同调平凡的。
• 若 $ h $ 是拟同构，则映射环面 $ T(h) $ 具有平凡的正诺维科夫上同调，因为 $ {}^\text{lt}\mathrm{Tot}(D^{*,*}) $ 是上同调平凡的。
• 映射环面 $ T(h) $ 总具有平凡的负诺维科夫上同调，因为 $ \mathrm{Tot}^{\text{rt}}(D^{*,*}) $ 在任意 $ h $ 下均为上同调平凡。
• 在 $ R[z,z^{-1}] $ 上的有限控制余链复形具有平凡的正负诺维科夫上同调，此结论通过映射环面构造与总化函子的上同调平凡性得以证明。
• 该证明为有限控制情形下诺维科夫上同调消失性提供了一个新的、初等的替代证明，替代了拉尼基原始论证。