[论文解读] Double Lie algebroids and second-order geometry, II

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Dec 22, 1997

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文完成了双李群胚的双李代数胚的构造，证明了LA-群胚的李代数胚结构可被延拓至其群胚结构的李代数胚，且两者之间存在典范同构。此外，本文进一步证明双李群胚的余切丛为辛双群胚，从而导出一对对偶的泊松群胚。

ABSTRACT

We complete the construction of the double Lie algebroid of a double Lie groupoid begun in the first paper of this title. We show that the Lie algebroid structure of an LA--groupoid may be prolonged to the Lie algebroid of its Lie groupoid structure; in the case of a double groupoid this prolonged structure for either LA--groupoid is canonically isomorphic to the Lie algebroid structure associated with the other; this extends many canonical isomorphisms associated with iterated tangent and cotangent structures. We also show that the cotangent of a double Lie groupoid is a symplectic double groupoid, and that the side groupoids of any symplectic double groupoid are Poisson groupoids in duality. Thus any double Lie groupoid gives rise to a dual pair of Poisson groupoids.

研究动机与目标

• 完成双李群胚的双李代数胚结构的构造，扩展第一篇论文的结果。
• 证明LA-群胚的李代数胚结构可被延拓至其底层群胚结构的李代数胚。
• 建立双李群胚中两个LA-群胚的延长结构之间的典范同构。
• 证明双李群胚的余切丛自然携带辛双群胚结构。
• 证明任意辛双群胚的侧群胚为对偶的泊松群胚，从而从任意双李群胚构造出一对对偶的泊松群胚。

提出的方法

• 将LA-群胚的李代数胚结构的延拓从其群胚结构推广至其关联的李代数胚结构。
• 利用二阶几何中切丛与余切丛之间的对偶性，推导出典范同构。
• 应用辛群胚及其余切提升理论，证明双李群胚的余切丛继承了辛双群胚结构。
• 应用泊松群胚对偶理论，证明辛双群胚的侧群胚构成一对对偶。
• 采用双向量丛及其李代数胚与群胚结构之间相容性条件的框架。
• 依赖于双结构中余切丛的李代数胚与切丛李代数胚对偶之间的典范同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 LA-群胚的李代数胚结构如何被延拓至其底层李群胚结构的李代数胚？
• RQ2 双李群胚中两个LA-群胚的延长李代数胚结构之间存在何种典范关系？
• RQ3 双李群胚的余切丛是否自然携带辛双群胚结构？
• RQ4 辛双群胚的侧群胚如何与泊松群胚对偶性相关联？
• RQ5 迭代切丛与余切丛结构中的典范同构是否可推广至双李代数胚设定？

主要发现

• 双李群胚的群胚结构的李代数胚上的延长李代数胚结构，与对偶LA-群胚的李代数胚结构之间存在典范同构。
• 证明双李群胚的余切丛为辛双群胚，推广了李群胚余切丛的辛结构。
• 任意辛双群胚的侧群胚为彼此对偶的泊松群胚，构成一对对偶。
• 该构造在双李群胚中两个LA-群胚的李代数胚之间提供了典范同构，扩展了二阶几何中的经典同构。
• 结果统一并推广了已知的切丛与余切丛结构中的同构，例如在双切丛与双余切丛中的情形。
• 该框架建立了从任意双李群胚通过其辛余切结构自然产生的泊松群胚之间的对偶性。