[论文解读] Double Lie algebroids and the double of a Lie bialgebroid

Kirill C. H. Mackenzie|ArXiv.org|Aug 17, 1998

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 37

一句话总结

本文引入了双李代数胚的概念，并确立其在统一李双代数胚与李代数胚对的匹配对中的作用。证明了李双代数胚的双余切丛构成一个双李代数胚，反之，若双余切丛上存在双李代数胚结构，则原结构必为李双代数胚，从而提供了曼宁三元组定理的李代数胚类比。此外，还表明空的双李代数胚通过诱导作用等价于李代数胚的匹配对。

ABSTRACT

We define a general notion of abstract double Lie algebroid. We show (1) that the double Lie algebroid of a double Lie groupoid is a double Lie algebroid in this sense; (2) that the double cotangent constructed from Lie algebroid structures on a vector bundle A and its dual A* is a double Lie algebroid if and only if (A, A*) is a Lie bialgebroid; (3) that a vacant double Lie algebroid structure is equivalent to a matched pair structure on the side Lie algebroids.

研究动机与目标

• 定义并形式化双李代数胚的抽象概念。
• 将李双代数胚的双余切丛确立为双李代数胚，从而提供曼宁三元组定理的李代数胚版本。
• 证明空的双李代数胚通过诱导作用精确对应于李代数胚的匹配对。
• 在双向量丛上具有相容李代数胚结构的共同框架下，统一双李群胚、李双代数胚与匹配对的结构。

提出的方法

• 将李双代数胚的双余切丛构造为具有两个相容李代数胚结构的双向量丛。
• 利用双向量丛的切丛与余切丛结构定义对偶与配对，建立 $T^*A$ 与 $T^ullet A$ 之间的典范同构。
• 应用核心与对偶丛的概念，定义双向量丛的竖直与水平对偶。
• 通过分析微分形式的李导数并运用括号恒等式，推导出双向量丛上两个李代数胚结构之间的相容条件。
• 应用作用李代数胚的概念，证明空的双李代数胚源于具有相互作用的李代数胚匹配对。
• 利用水平与竖直对偶之间的配对，定义关键的典范同构 $R$，用于刻画李双代数胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 双向量丛需满足何种条件才能成为双李代数胚？
• RQ2 李双代数胚的双余切丛如何生成双李代数胚？该构造的意义何在？
• RQ3 在双余切丛上存在双李代数胚结构时，其在原丛上诱导出李双代数胚结构的条件是什么？
• RQ4 空的双李代数胚与李代数胚的匹配对之间存在何种关系？
• RQ5 双李代数胚框架能否提供类似于群胚情形的匹配对的图示化表征？

主要发现

• 李双代数胚的双余切丛是双李代数胚，且该构造提供了曼宁三元组定理的李代数胚类比。
• 双余切丛上存在双李代数胚结构，当且仅当原对偶李代数胚结构构成李双代数胚。
• 空的双李代数胚与李代数胚的匹配对等价，其中两个侧边李代数胚通过定义双结构的相互作用实现。
• 在 $A \oplus B$ 上关于 $M$ 的双李代数胚结构可直接由双结构上的两个相容李代数胚结构导出，从而提供半直积李代数胚的新构造方法。
• 该框架允许对李代数胚的匹配对进行纯粹图示化的表征，类似于群胚情形，借助典范同构 $R$ 与对偶之间的配对实现。
• 本文确认，与空的双李代数胚相关的李双代数胚为 $({\frak g} \oplus {\frak g}_0, {\frak g}^* \oplus {\frak g}^*_0)$，其中下标表示阿贝尔化，与双代数情形一致。