[论文解读] `Double modules', double categories and groupoids, and a new homotopical double groupoid

Ronald Brown|ArXiv.org|Mar 15, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种从拓扑空间 $X$ 及其子空间 $A$、$B$ 和基集 $C \to A \bigcap B$ 构造同伦双群胚的新方法，该方法在相对同伦群相容性条件下成立。通过引入‘双模’对双群胚进行推广，并建立了一个双群胚结构，该结构编码了 $\rho_2(X,A,c)$ 和 $\rho_2(X,B,c)$，实现了对称的双向复合，并通过立方体连接与同伦提升满足交换律。

ABSTRACT

We give a rather general construction of double categories and so, under further conditions, double groupoids, from a structure we call a `double module'. We also give a homotopical construction of a double groupoid from a triad consisting of a space, two subspaces, and a set of base points, under a condition which also implies that this double groupoid contains two second relative homotopy groups.

研究动机与目标

• 将基于交叉模和群胚的双群胚构造方法推广至更广泛的框架，使用‘双模’作为工具。
• 为具有子空间 $A$、$B$ 和基点映射 $C \to A \cap B$ 的拓扑空间 $X$，提出一种新的同伦双群胚构造方法。
• 在相容性条件下，确保该双群胚能同时捕捉两个相对同伦群 $\pi_2(X,A,c)$ 和 $\pi_2(X,B,c)$（$c \in C$）。
• 通过立方体奇异集与连接结构，建立该新双群胚中的交换律与群胚公理。

提出的方法

• 从一个包含三个范畴 $M$、$H$、$V$ 的‘双模’结构出发，这些范畴共享一个公共基 $P$，并赋予 $H$ 和 $V$ 对 $M$ 的作用。
• 通过 $m^d n$ 和 $p m^y$ 分别定义方块 $(m:u^a_c v)$ 的水平与垂直复合，使用类似群胚的作用。
• 施加交换律条件 $m^{yf} q = q m^{dz}$，该条件由边界方程与几何一致性推导而来。
• 应用立方体奇异集 $S^\square(X)$ 与连接 $\Gamma^\pm_i$ 来填补同伦空洞并构造高阶同伦。
• 利用相对顶点同伦与收缩技术，将映射形变至双群胚结构中。
• 通过类比基本群胚，验证双群胚公理，利用连接确保复合运算的良定义性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地从如‘双模’等代数结构构造双群胚？
• RQ2 在何种拓扑条件下，三元组 $(X,A,B)$ 与基点集 $C \subseteq A \cap B$ 能生成一个良定义的双群胚？
• RQ3 能否构造一个双群胚，使其同时编码两个相对同伦群 $\pi_2(X,A,c)$ 与 $\pi_2(X,B,c)$？
• RQ4 立方体连接与同伦提升如何确保新双群胚中交换律的成立？
• RQ5 该新双群胚与基于交叉模或 cat-2-群的先前构造之间存在何种关系？

主要发现

• 在对所有 $c \in C$，有 $\pi_2(A,c) \to \pi_2(X,c)$ 与 $\pi_2(B,c) \to \pi_2(X,c)$ 的像一致的条件下，可从三元组 $(X,A,B,C)$ 构造出新的双群胚 $\rho X_*$。
• 所得双群胚对每个 $c \in C$ 均包含 $\pi_2(X,A,c)$ 与 $\pi_2(X,B,c)$ 作为子结构。
• 交换律的成立归因于立方体连接 $\Gamma^\pm_i$ 的使用，其可通过常值同伦与收缩填补同伦空洞。
• 该构造满足群胚公理，水平与垂直复合通过作用 $m^d$ 与 $m^y$ 定义，确保一致性。
• 条件 (Conn) 是非平凡且必要的，即使当 $C$ 为单点集时，$\rho X_*$ 仍需满足该条件才能构成双群胚。
• 该构造推广了 [BH78] 中的早期工作，为二维同伦提供了对称且双向的框架，超越了传统相对同伦群的局限。