[论文解读] Double phase quasiconvex functionals and their partial regularity theory

Sunwoo Jeong, Jihoon Ok|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2026

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 0

一句话总结

该论文在退化、非自洽双相增长和伪凸性约束下，利用 A-谐近与 φ-谐近方法，针对极小化问题给出部分 C^{1,α} 正则性结果。

ABSTRACT

We consider degenerate nonautonomous energies $$ \int_Ωf(x, Dv)\, dx, $$ for vector-valued functions $v \in W^{1,1}(Ω, \mathbb{R}^N)$, where the integrand $f(x,P)$ satisfies growth and weak uniform quasiconvexity assumption associated with the double phase function $H(x,t)=t^p + a(x)t^q$. We establish partial Hölder regularity for the gradients of minimizers under suitable, and possibly minimal, regularity assumptions on $H$ and $f$. Our approach relies on two approximation results: $\mathcal{A}$-harmonic approximation and a variational version of the $ϕ$-harmonic approximation.

研究动机与目标

• 激发并解决退化双相伺凖能量极小化问题的正则性；
• 在适当的结构假设下，建立梯度的高整合性与局部 Hölder 连续性；
• 发展两种近似框架：A-谐近与 φ-谐近，适应双相设定；
• 区分非退化与退化两种情形并导出相应的 excess-decay 估计。

提出的方法

• 将双相能量记为 H(x,t)=t^p+a(x)t^q，给出精确的增长/伪凸性假设 (C1)-(C7)；
• 证明 H(·,|Du|) 以及基于移位的 H_{|Q|} 的量的高整合性；
• 导出两种情形的 excess-decay 估计：非退化通过 A-谐近，退化通过 φ-极小化近似；
• 在移位设定中应用移位函数技术并推导 Caccioppoli 不等式；
• 利用自我提升的估计与近似引理，获得极小化的部分 C^{1,α} 正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 f 和 H 的哪些结构条件下，极小化 u 展现出部分 C^{1,α} 正则性？
• RQ2 如何将 A-谐近与 φ-谐近改写为双相、伪凸设置，以获得 excess-decay 与正则性？
• RQ3 哪些情形（非退化 vs 退化）支配梯度行为，如何建立相应的衰减估计？
• RQ4 最小的 x 方向正则性要求（f 与 a(x)）达到何种水平即可获得 Du 的 Hölder 连续性？

主要发现

• 双相伪凸能量的极小化在大开集内具有梯度局部 Hölder 连续性；
• 识别出两种情形：非退化（控制 Du 的振荡）与退化（小梯度区域），各自具有不同的衰减机制；
• 建立了 A-谐近引理与 φ-极小化近似引理，用以分别将极小化对象与各自的各向同性对手进行比较；
• 证明了 H(·,|Du|) 与 移位函数量 H_{|Q|}(|Du−Q|) 的高整合性，为 excess-decay 框架提供支撑；
• 在假设 (C1)-(C7) 下，主结果给出 Du ∈ C^{0,β}_{loc}(Ω_0) 对某个 β∈(0,1) 的局部正则性，以及存在一个全测集 Ω_0 ⊂ Ω，使得该正则性成立。