[论文解读] Double Poisson algebras

Michel Van den Bergh|ArXiv.org|Oct 25, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文引入了双Poisson代数作为Poisson几何的非交换推广，定义了代数上的双括号，使其在表示空间上诱导出Poisson结构。证明了形变乘法前投射代数的表示模空间通过该框架自然携带Poisson结构，通过新颖的代数工具（包括双括号与双Schouten-Nijenhuis括号）将经典结果推广至非交换设置。

ABSTRACT

In this paper we develop Poisson geometry for non-commutative algebras. This generalizes the bi-symplectic geometry which was recently, and independently, introduced by Crawley-Boevey, Etingof and Ginzburg. Our (quasi-)Poisson brackets induce classical (quasi-)Poisson brackets on representation spaces. As an application we show that the moduli spaces of representations associated to the deformed multiplicative preprojective algebras recently introduced by Crawley-Boevey and Shaw carry a natural Poisson structure.

研究动机与目标

• 通过定义一种新的代数结构——双Poisson代数，发展Poisson几何的非交换类比，使其在表示空间上诱导出Poisson括号。
• 在非交换设置下，推广双辛形式及其与Poisson结构关系的概念。
• 建立双Poisson代数与形变乘法前投射代数表示空间几何之间的联系，特别是针对此类代数。
• 提供一个框架，使得交换Poisson簇的经典几何性质可通过表示空间提升至非交换代数。
• 在非交换代数几何的背景下，统一并推广来自拟哈密顿约化与双辛几何的结果。

提出的方法

• 将双括号定义为$k$-代数$A$上的双线性映射$\{\!\!\{ -, - \}\!\!\} : A \times A \to A \otimes A$，满足在对换自同构下的导子性质与反对称性。
• 在多向量场上引入双Schouten-Nijenhuis括号，以将经典Schouten-Nijenhuis括号推广至非交换设置。
• 通过公式$\{a_{ij}, b_{uv}\} = \{\!\!\{a,b\}\!\!\}'_{uj} \{\!\!\{a,b\}\!\!\}''_{iv}$，在双Poisson括号与表示空间$\operatorname{Rep}(A, N)$上的Poisson括号之间建立对应关系。
• 证明双Poisson代数在所有$N$下诱导出$\mathcal{O}(\operatorname{Rep}(A, N))$上的Poisson代数结构，利用$A \otimes A$的导出结构。
• 将$\Omega_B A$上的双辛形式与$D_B A$中的微分Poisson元素联系起来，证明$d\omega = 0$当且仅当在商代数中$\{P, P\} = 0$。
• 通过收缩$\imath_{E_i}(\omega)$在非交换设置中构造一个矩映射，利用$\omega$的闭性证明$d\mu_i = \imath_{E_i}(\omega)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非交换代数中推广Poisson几何，使其在表示空间上诱导出Poisson结构？
• RQ2 在非交换代数上，何种代数结构对应于其所有有限维表示空间上的Poisson括号？
• RQ3 双Schouten-Nijenhuis括号在非交换设置下如何与经典Schouten-Nijenhuis括号关联？
• RQ4 双辛形式的非交换类比是什么？它与Poisson上同调有何关系？
• RQ5 能否通过该框架使形变乘法前投射代数的表示模空间自然携带Poisson结构？

主要发现

• 本文证明：若$A$是双Poisson代数，则其坐标环$\mathcal{O}(\operatorname{Rep}(A, N))$在双括号诱导下具有明确定义的Poisson代数结构。
• 与形变乘法前投射代数相关的模空间$\mathcal{S}_{\alpha,q}/\!\!\! /\operatorname{Gl}_\alpha$自然携带Poisson结构，推广了Atiyah-Bott与拟哈密顿几何中的经典结果。
• 在$\Omega_B A$上的双辛形式$\omega$对应于$D_B A$中的微分Poisson元素$P$，且$d\omega = 0$当且仅当在$D_B A / [D_B A, D_B A]$中$\{P, P\} = 0$，从而建立了经典辛-Poisson对应关系的非交换类比。
• 当$A$ admits一个双辛形式时，$A$的De Rham上同调与Poisson上同调一致，推广了经典的交换结果。
• 对于基代数$B$中的每个幂等元$e_i$，存在一个矩映射$\mu_i$，满足$d\mu_i = \imath_{E_i}(\omega)$，其存在性由$\Omega_B A$在度数$\geq 1$的正则性及$\omega$的闭性保证。
• 双括号构造提供了一种直接的代数方法，用于在不显式引用矩阵直到最后一步的情况下计算表示空间上的Poisson括号，统一并简化了基于拟哈密顿约化的先前方法。