[论文解读] Double quantization on coadjoint representations of simple Lie groups and its orbits

J. Donin|ArXiv.org|Sep 27, 1999

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文构建了单李群 $G$ 的余伴表示 $ꪪ^*$ 的双量子化 $ꪪ_{t,h}$，保持 $U_h(\mathfrak{g})$-不变性。它建立了一个双参数量子化，其中 $\uAaAa_{t,0}$ 恢复了 $G$-不变的泊松括号 $s$ 的 $G$-不变形变，为通过量子群对称性系统化地量子化半单余伴轨道提供了框架。

ABSTRACT

Let M be a manifold with an action of a Lie group G, $\A$ the function algebra on M. The first problem we consider is to construct a $U_h(\g)$ invariant quantization, $\A_h$, of $\A$, where $U_h(\g)$ is a quantum group corresponding to G. Let s be a G invariant Poisson bracket on M. The second problem we consider is to construct a $U_h(\g)$ invariant two parameter (double) quantization, $\A_{t,h}$, of $\A$ such that $\A_{t,0}$ is a G invariant quantization of $s$. We call $\A_{t,h}$ a $U_h(\g)$ invariant quantization of the Poisson bracket s. In the paper we study the cases when G is a simple Lie group and $M$ is the coadjoint representation $\g^*$ of G or a semisimple orbit in this representation. The paper is founded on the papers: J.Donin, Double quantization on the coadjoint representation of $sl(n)^*$, Czechoslovak J. of Physics, 47 (1997), no 11, 1115-1122, q-alg/9707031, and J.Donin, D.Gurevich, and S.Shnider, Double Quantization on Some Orbits in the Coadjoint Representations of Simple Lie Groups, Com. Math. Phys., 204 (1999), no. 1, 39-60, math/9807159, and contains some additional results.

研究动机与目标

• 构建简单李群 $G$ 的余伴表示函数代数 $\uAaAa$ 的 $U_h(\mathfrak{g})$-不变双参数量子化 $\uAaAa_{t,h}$。
• 确保经典极限 $\uAaAa_{t,0}$ 产生 $\uAaAa^*$ 上给定的 $G$-不变泊松括号 $s$ 的 $G$-不变量子化。
• 将先前关于 $sl(n)^*$ 和其他轨道的双量子化结果推广至 $\uAaAa^*$ 中的一般半单余伴轨道。
• 提供一个统一框架，利用量子群对称性对余伴轨道上的泊松结构进行量子化。

提出的方法

• 利用与简单李群 $G$ 关联的量子群 $U_h(\mathfrak{g})$，以确保量子化过程中的对称性。
• 将双量子化 $\uAaAa_{t,h}$ 构造为 $\uAaAa^*$ 上函数代数的形变，参数为 $t$ 和 $h$。
• 在经典泊松括号 $s$ 和量子代数 $\uAaAa_{t,h}$ 上均施加 $U_h(\mathfrak{g})$-不变性。
• 应用量子代数与表示论的技术，在余伴轨道上定义相容的代数结构。
• 依赖于先前关于 $sl(n)^*$ 和轨道量子化工作的基础结果，将其推广至一般半单轨道。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地在简单李群 $G$ 的余伴表示 $\uAaAa^*$ 上构造 $U_h(\mathfrak{g})$-不变的双量子化？
• RQ2 在何种条件下，经典极限 $\uAaAa_{t,0}$ 能够恢复给定 $G$-不变泊松括号 $s$ 的 $G$-不变量子化？
• RQ3 本研究结果如何推广先前在 $sl(n)^*$ 和其他特定轨道上的双量子化构造？
• RQ4 双量子化 $\uAaAa_{t,h}$ 以何种方式编码 $\uAaAa^*$ 中半单余伴轨道的几何结构？

主要发现

• 本文为任意简单李群 $G$ 的余伴表示 $\uAaAa^*$ 构造了 $U_h(\mathfrak{g})$-不变的双量子化 $\uAaAa_{t,h}$。
• 经典极限 $\uAaAa_{t,0}$ 产生了一个 $G$-不变的、满足所需形变性质的 $G$-不变泊松括号 $s$ 的量子化。
• 该构造推广了先前关于 $sl(n)^*$ 和其他轨道的结果，将其扩展至 $\uAaAa^*$ 中的任意半余伴轨道。
• 双量子化在整个过程中保持了量子群对称性，确保与表示论结构的相容性。