[论文解读] Double ramification cycles on the moduli spaces of admissible covers

Hsian‐Hua Tseng, Fenglong You|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文推导了在 $BG$ 上的稳定映射模空间上的堆叠型双 ramification 丛 $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$ 的公式，将 Pixton 的公式推广至具有有限群作用的 $\mathbb{P}^1$-堆叠。通过虚拟局部化与等变技术，作者证明了 $[\mathbb{P}^1/G]$ 相对于 $0$ 与 $\infty$ 的相对 Gromov-Witten 不变量完全由已知的 $BG$ 的 Gromov-Witten 理论与导出的丛公式所决定。

ABSTRACT

We derive a formula for the virtual class of the moduli space of rubber maps to $[\mathbb{P}^1/G]$ pushed forward to the moduli space of stable maps to $BG$. As an application, we show that the Gromov-Witten theory of $[\mathbb{P}^1/G]$ relative to $0$ and $\infty$ are determined by known calculations.

研究动机与目标

• 将 Pixton 的双 ramification 丛公式推广至具有有限群作用的 $[\mathbb{P}^1/G]$ 的 $\mathbb{P}^1$-堆叠设定。
• 研究 $[\mathbb{P}^1/G]$ 相对于轨道点 $[0/G]$ 与 $[\infty/G]$ 的相对 Gromov-Witten 不变量。
• 建立这些相对不变量完全由堆叠型双 ramification 丛与 $BG$ 的 Gromov-Witten 理论所决定。
• 将虚拟局部化技术扩展至堆叠型橡胶映射，并计算虚拟类的拉回至 $\overline{M}_{g,n}(BG)$。

提出的方法

• 将堆叠型双 ramification 丛 $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$ 定义为橡胶映射至 $[\mathbb{P}^1/G]$ 的模空间的虚拟类的拉回。
• 对 $[\mathbb{P}^1/G]$ 上的 $\mathbb{C}^*$-等变结构应用虚拟局部化，将虚拟类分解为固定点的贡献。
• 利用等变欧拉类与 $c_d(-L_{g,n}^{1/r})$ 的生成函数，计算稳定顶点、节点与目标退化的贡献。
• 通过分析等变拉回中 $s^0 r^0$ 的系数（其中 $s = tr$）提取非等变极限。
• 利用 $s^0 r^0$ 系数的消失性，推导出 $DR_g^G(A)$ 的公式，其表达为 $\hat{c}_g = r^{2g-2} \epsilon_* c_g(-L_{g,n}^{1/r})$ 的形式。
• 利用 $\hat{c}_g$ 对大 $r$ 是 $r$ 的多项式这一事实，通过形式幂级数技术实现系数提取。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Pixton 的双 ramification 丛公式扩展至具有有限群作用的 $[\mathbb{P}^1/G]$ 的轨道设定？
• RQ2 $[\mathbb{P}^1/G]$ 上橡胶映射模空间的虚拟类具有何种结构？
• RQ3 相对 Gromov-Witten 不变量在多大程度上由堆叠型双 ramification 丛决定？
• RQ4 虚拟局部化如何应用于堆叠型橡胶映射？节点与目标退化的贡献是什么？
• RQ5 能否利用 $\mathbb{C}^*$-等变拉回的虚拟类提取 $DR_g^G$ 的非等变公式？

主要发现

• 堆叠型双 ramification 丛 $DR_g^G(\mu_0, \mu_\infty, I)$ 在 $A^g(\overline{M}_{g,n}(BG))$ 中由 $DR_g^G(A) = a^{l(\mu_\infty) - l(\mu_0)} \cdot \mathrm{Coeff}_{r^0}[r \cdot \epsilon_* c_g(-L_{g,n}^{1/r})]$ 给出。
• 当 $G = \{1\}$ 时，该公式退化为 Pixton 的原始双 ramification 丛公式。
• $([\mathbb{P}^1/G], [0/G])$ 与 $([\mathbb{P}^1/G], [0/G] \cup [\infty/G])$ 的相对 Gromov-Witten 理论完全由导出公式与已知的 $BG$ 的 Gromov-Witten 理论所决定。
• 橡胶映射空间的虚拟类具有非等变极限，且等变拉回中 $t^{-1}$ 的系数消失，从而可提取 $r^0$ 项。
• 位于 $0$ 处的稳定顶点与目标退化各自贡献至少一个 $r$ 的正幂次，因此仅有两类图对 $r^0$ 系数有贡献。
• 最终公式将 $DR_g^G(A)$ 表示为 $L_{g,n}^{1/r}$ 的对偶线丛的总陈类拉回的 $r^0$ 系数，揭示了其与 $\overline{M}_{g,n}(BG)$ 上塔勒类的深刻联系。