[论文解读] Doubles for monoidal categories

Craig Pastro, Ross Street|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 15

一句话总结

本文引入了单个张量 V-范畴 𝒜 的 '双'，记为 D𝒜，作为一个普罗蒙oidal V-范畴，通过等价关系 [D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜) 对 Tambara 模块进行分类。对于闭的 𝒜，进一步定义了强和左强 Tambara 模块，表明其范畴与卷积张量范畴 [𝒜, V] 的（广义）中心等价，且通过局部化双范畴 Dₛ𝒜 和 Dₗₛ𝒜 实现类似等价。关键贡献在于建立了一个统一的框架，将 Tambara 模块、中心与张量范畴理论在丰富范畴论中联系起来。

ABSTRACT

In a recent paper, Daisuke Tambara defined two-sided actions on an endomodule (= endodistributor) of a monoidal V-category A. When A is autonomous (= rigid = compact), he showed that the V-category (that we call Tamb(A)) of so-equipped endomodules (that we call Tambara modules) is equivalent to the monoidal centre Z[A,V] of the convolution monoidal V-category [A,V]. Our paper extends these ideas somewhat. For general A, we construct a promonoidal V-category DA (which we suggest should be called the double of A) with an equivalence [DA,V] \simeq Tamb(A). When A is closed, we define strong (respectively, left strong) Tambara modules and show that these constitute a V-category Tamb_s(A) (respectively, Tamb_{ls}(A)) which is equivalent to the centre (respectively, lax centre) of [A,V]. We construct localizations D_s A and D_{ls} A of DA such that there are equivalences Tamb_s(A) \simeq [D_s A,V] and Tamb_{ls}(A) \simeq [D_{ls} A,V]. When A is autonomous, every Tambara module is strong; this implies an equivalence Z[A,V] \simeq [DA,V].

研究动机与目标

• 通过构造一个分类 Tambara 模块的通用对象，将 Tambara 在自对偶范畴上的结果推广到一般的张量 V-范畴。
• 在闭张量 V-范畴的背景下，定义并研究强和左强 Tambara 模块。
• 证明卷积张量范畴 [𝒜, V] 的（广义）中心与某个局部化双范畴 𝒟 的函子范畴 [𝒟, V] 等价。
• 建立一个范畴论框架，统一富代数双范畴、张量中心与丰富范畴论中的普罗蒙oidal 结构。

提出的方法

• 将双范畴 D𝒜 构造为一个普罗蒙oidal V-范畴，使得 [D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜)，推广了在自对偶情形下 Tambara 的等价关系。
• 通过作用上的协调条件定义强和左强 Tambara 模块，推广了张量范畴中中心性的概念。
• 引入 D𝒜 的局部化 Dₛ𝒜 和 Dₗₛ𝒜，通过等价关系 [𝒟ₛ𝒜, V] ≃ Tambₛ(𝒜) 和 [𝒟ₗₛ𝒜, V] ≃ Tambₗₛ(𝒜) 来刻画 [𝒜, V] 的（广义）中心。
• 利用 Day 的卷积，以及张量结构与普罗蒙oidal 结构之间的对应关系，将辫子和广义辫子结构提升到双范畴上。
• 利用 V-自然性与 V 中的对称性，证明 V 作为 V-范畴的中心与 V 本身等价，从而凸显构造的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 Tambara 在自对偶范畴上关于 Tambara 模块与张量中心的等价关系，推广到更一般的范畴？
• RQ2 在单个张量 V-范畴 𝒜 上，何种结构可保证其（广义）中心仍为函子范畴 [𝒟, V]？
• RQ3 能否构造一个通用的 '双' D𝒜，使得 [D𝒜, V] 对任意单个张量 V-范畴 𝒜 都能分类 Tambara 模块？
• RQ4 强和左强 Tambara 模块与卷积张量范畴 [𝒜, V] 的（广义）中心之间有何关系？

主要发现

• 单个张量 V-范畴 𝒜 的双范畴 D𝒜 是一个普罗蒙oidal V-范畴，满足 [D𝒜, V] ≃ Tamb(𝒜)，为 Tambara 模块提供了一个通用分类器。
• 当 𝒜 为闭范畴时，强 Tambara 模块范畴 Tambₛ(𝒜) 与中心 𝒪[𝒜, V] 等价，左强模范畴 Tambₗₛ(𝒜) 与广义中心 𝒪ₗ[𝒜, V] 等价。
• D𝒜 的局部化 Dₛ𝒜 和 Dₗₛ𝒜 实现了这些等价关系，满足 [Dₛ𝒜, V] ≃ Tambₛ(𝒜) 和 [Dₗₛ𝒜, V] ≃ Tambₗₛ(𝒜)。
• 当 𝒜 为自对偶范畴时，每个 Tambara 模块都是强的，因此 𝒪[𝒜, V] ≃ [D𝒜, V]，从而将 Tambara 的原始结果作为特例恢复。
• 该构造使 D𝒜 及其局部化具备广义辫子与辫子普罗蒙oidal 结构，使得 [𝒟, V] 在 Day 卷积下成为闭张量范畴。