[论文解读] Doubling construction of Calabi-Yau threefolds

Mamoru Doi, Naoto Yotsutani|arXiv (Cornell University)|May 1, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于可接受对 $(\overline{X}, D)$ 的微分几何双构造法，其中 $\overline{X}$ 为紧致凯勒三复流形，$D$ 为具有平凡法丛的光滑反Canonical $K3$ 非奇异除子。通过在两个 $\overline{X} \setminus D$ 的柱状端部之间使用渐近柱状的里奇平坦度量进行非扭接合，该构造生成了一个紧致的卡拉比-丘三复流形，其全纯性群为 $\mathrm{SU}(3)$。该方法可显式计算所有贝蒂数与霍奇数，共产生 123 个拓扑互异的示例，包括 54 个新示例。

ABSTRACT

We give a differential-geometric construction and examples of Calabi-Yau threefolds, at least one of which is {\it{new}}. Ingredients in our construction are {\it admissible pairs}, which were dealt with by Kovalev in \cite{K03} and further studied by Kovalev and Lee in \cite{KL11}. An admissible pair $(\overline{X},D)$ consists of a three-dimensional compact Kähler manifold $\overline{X}$ and a smooth anticanonical $K3$ divisor $D$ on $\overline{X}$. If two admissible pairs $(\overline{X}_1,D_1)$ and $(\overline{X}_2,D_2)$ satisfy the {\it gluing condition}, we can glue $\overline{X}_1\setminus D_1$ and $\overline{X}_2\setminus D_2$ together to obtain a Calabi-Yau threefold $M$. In particular, if $(\overline{X}_1,D_1)$ and $(\overline{X}_2,D_2)$ are identical to an admissible pair $(\overline{X},D)$, then the gluing condition holds automatically, so that we can {\it always} construct a Calabi-Yau threefold from a {\it single} admissible pair $(\overline{X},D)$ by {\it doubling} it. Furthermore, we can compute all Betti and Hodge numbers of the resulting Calabi-Yau threefolds in the doubling construction.

研究动机与目标

• 开发一种基于粘合技术的新微分几何构造法，用于卡拉比-丘三复流形。
• 为所得卡拉比-丘流形的贝蒂数与霍奇数提供系统性计算方法。
• 识别并构造新的卡拉比-丘三复流形示例，包括至少一个此前未被记录的示例。
• 建立博尔切亚-维辛镜像对称构造的微分几何解释。

提出的方法

• 构造始于一个可接受对 $(\overline{X}, D)$，其中 $\overline{X}$ 为紧致凯勒三复流形，且 $D \subset \overline{X}$ 为具有平凡法丛的光滑反Canonical $K3$ 除子。
• 每个 $\overline{X} \setminus D$ 均可赋予渐近柱状的里奇平坦凯勒度量，从而在 $(\overline{X} \setminus D) \times S^1$ 上构造出无挠 $G_2$-结构。
• 双构造通过在柱状端部非扭接合两个 $\overline{X} \setminus D$ 的副本，保持渐近几何结构。
• 结果流形 $M$ 被证明在大粘合参数 $T$ 下可赋予无挠 $G_2$-结构，该结构可形变为具有 $\mathrm{SU}(3)$ 全纯性群的里奇平坦度量。
• 通过包含映射 $H^2(X_i, \mathbb{R}) \to H^2(D_i, \mathbb{R})$ 的交集计算 $M$ 的贝蒂数与霍奇数，双构造情形下由于映射相同而得以简化。
• 该方法适用于法诺型与非辛型可接受对，分别基于 Mori-Mukai 与 Nikulin 的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过双构造可接受对实现卡拉比-丘三复流形的新微分几何构造？
• RQ2 如何显式计算此类粘合卡拉比-丘三复流形的贝蒂数与霍奇数？
• RQ3 通过双构造所得卡拉比-丘流形的拓扑与霍奇理论结构为何？
• RQ4 是否存在文献中此前未记录的新卡拉比-丘三复流形示例？
• RQ5 双构造与博尔切亚-维辛框架下的镜像对称有何关联？

主要发现

• 双构造生成了 123 个拓扑互异的卡拉比-丘三复流形，其中 59 个来自法诺型对，64 个来自非辛型对。
• 其中 54 个为新示例，此前未在文献中记录。
• 该构造可通过包含映射 $D_i$ 诱导的上同调映射的交集，显式计算所有贝蒂数与霍奇数。
• 所得卡拉比-丘三复流形包含 24 对镜像对与 6 个自镜像流形，与博尔切亚-维辛镜像对称一致。
• 当 $h^{1,1} = 10$ 时，卡拉比-丘三复流形为自镜像，符合镜像对称条件 $r + r' = 20, a = a'$ 的预测。
• 所得卡拉比-丘三复流形的霍奇数位于形如 $(X,Y) = (12,26) + m(12,4) + n(-12,4)$ 的格点上，其中 $X = 2(h^{1,1} - h^{2,1})$，$Y = h^{1,1} + h^{2,1}$。