[论文解读] Doubling Constructions for Covering Groups and Tensor Product L-Functions

Yuanqing Cai, Solomon Friedberg+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 9

一句话总结

本文将加倍法推广至挠覆盖群，构造了在覆盖群上真实 cuspidal 自守表示的偏标准张量积 L-函数的全局积分。关键结果表明，当 m 为奇数时，该积分给出一个包含局部 L-函数与标准 L-函数的 L-函数比值，其构造依赖于 Whittaker-Speh-Shalika 余项及猜想的 Shimura 提升。

ABSTRACT

This is a research announcement concerning a series of constructions obtained by applying the "doubling method" from the theory of automorphic forms to covering groups. Using these constructions, we obtain partial tensor product L-functions attached to generalized Shimura lifts, which may be defined in a natural way since at almost all places the representations are unramified principal series.

研究动机与目标

• 将加倍法从线性经典群推广至挠覆盖群。
• 定义并研究覆盖群上真实 cuspidal 自守表示的偏标准张量积 L-函数。
• 利用 Eisenstein 系列与傅里叶系数，建立这些 L-函数的全局积分表示。
• 解决在高阶覆盖上构造余项表示的挑战，此时标准 Whittaker 模型失效。
• 提出此类 L-函数存在的框架，基于猜想的 Shimura 提升，并在特例中验证。

提出的方法

• 将经典加倍法适配至分裂经典群的 m 重挠覆盖，使用在 G(F)×G(F)\G(A)×G(A) 上的全局积分。
• 在更大的经典群 H^{(r)}(A) 的覆盖上使用 Eisenstein 系列 E^{U,ψ_U}_{τ^{(r)}}，其诱导数据与 Whittaker-Speh-Shalika 表示相关。
• 通过 Eisenstein 系列的傅里叶系数提取 L-函数，其中表示被构造为 GL_k^{(r)}(A) 上 Eisenstein 系列的余项。
• 引入关于 r 的条件（当 m 为奇数时 r = m；当 G=Sp_{2n} 且 m 为偶数时 r = m/2），以确保结果独立于截面 G(A) → G^{(m)}(A) 的选择。
• 应用展开技术，将全局积分与表示 π^{(m)} 及其对偶表示的内积联系起来。
• 采用 Langlands-Shahidi 方法与常数项分析，研究 intertwining 算子的极点，并将其与 L-函数的极点关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将加倍法推广至挠覆盖群上的真实自守表示？
• RQ2 在覆盖群上的真实 cuspidal 表示与一般线性群覆盖上的表示的张量积所关联的 L-函数具有何种结构？
• RQ3 在 GL_k 的高阶覆盖上，Eisenstein 系列的余项在何种条件下给出非平凡表示？
• RQ4 覆盖群上的局部 L-函数如何通过广义 Shimura 提升与线性群上的 L-函数关联？
• RQ5 本文构造的全局积分是否非零，且等于所期望的 L-函数比值？

主要发现

• 当 m 为奇数时，全局积分 Z(s, π^{(m)}, τ^{(m)}) 等于一个 L-函数比值，其中包含 π^{(m)}×τ^{(m)} 的标准 L-函数，以及 τ^{(m)} 在对称与外幂表示下的 L-函数。
• 该 L-函数比值明确表示为 L(αs - (α-1)/2, π^{(m)}×τ^{(m)}) 除以 τ^{(m)} 在对称与外幂表示下的 L-函数乘积，其中 α = m(2nmk + 1)。
• 该构造独立于截面 G(A) → G^{(m)}(A) 的选择，此点由 r 依 m 的选择所保证。
• 当 m=2 时，通过与 Sp_{2k}^{(2)}(A) 的最小表示进行全局积分，证明了 GL_{2k}^{(2)}(A) 上极大抛物 Eisenstein 系列的余项表示非零。
• 积分 ∫_{Sp_{2k}(F)\Sp_{2k}(A)} E_{τ^{(2)}}^{(2)}(g) θ_{Sp}^{(2)}(g) dg 绝对收敛，且对某些数据不恒为零，证明余项非零。
• 该方法依赖于猜想的广义 Shimura 提升；若此类提升存在且映射至 cuspidal 表示，则部分 L-函数 L^S(s, τ^{(m)}×τ̂^{(m)}) 在 s=1 处有一阶极点，支持余项表示的存在性。