[论文解读] Doubly nonnegative relaxation method for solving multiple objective quadratic programming problems

Yanqin Bai, Chuan-Hao Guo|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2012

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文提出一种双非负松弛方法，通过线性加权和法将多目标二次规划（MOQP）问题转化为单目标问题，再将非凸问题松弛为凸的双非负规划（DNNP）。在较弱条件下，DNNP的最优解可得到（弱）帕累托最优解，数值结果在投资组合选择中的表现证明了该方法在实现低风险、高收益及稀疏投资配置方面的有效性与潜力。

ABSTRACT

Multicriterion optimization and Pareto optimality are fundamental tools in economics. In this paper we propose a new relaxation method for solving multiple objective quadratic programming problems. Exploiting the technique of the linear weighted sum method, we reformulate the original multiple objective quadratic programming problems into a single objective one. Since such single objective quadratic programming problem is still nonconvex and NP-hard in general. By using the techniques of lifting and doubly nonnegative relaxation, respectively, this single objective quadratic programming problem is transformed to a computable convex doubly nonnegative programming problem. The optimal solutions of this computable convex problem are (weakly) Pareto optimal solutions of the original problem under some mild conditions. Moreover, the proposed method is tested with two examples and a practical portfolio selection problem. The test problems are solved by exttt{CVX} package which is a solver for convex optimization. The numerical results show that the proposed method is effective and promising.

研究动机与目标

• 为解决实际应用中非凸、NP难的多目标二次规划（MOQP）问题的挑战。
• 开发一种计算上可行的方法，用于识别非凸MOQP问题的（弱）帕累托最优解。
• 将线性加权和法与提升技术及双非负松弛技术相结合，将原始非凸问题转化为凸且可解的形式。
• 在基准和现实世界的投资组合选择问题上验证该方法的有效性。
• 证明该方法可产生稀疏的最优解，表明对关键资产的集中投资。

提出的方法

• 应用线性加权和法将多目标问题转化为单目标二次规划（SOQP）。
• 通过提升技术将SOQP重述为完全正定规划（CPP）问题，保持原始问题的结构。
• 对CPP问题应用双非负松弛（DNNP），将其转化为凸且计算上可行的优化问题。
• 证明在较弱条件下，DNNP问题的最优解可导出原始MOQP问题的（弱）帕累托最优解。
• 使用CVX软件包（一种凸优化求解器）求解DNNP问题，实现数值验证。
• 利用非负单纯形及线性约束的结构，在松弛过程中保持可行性。

实验结果

研究问题

• RQ1 双非负松弛方法能否有效近似非凸MOQP问题的帕累托最优解？
• RQ2 在投资组合选择中，该方法与现有方法相比在解的质量和稀疏性方面表现如何？
• RQ3 在何种条件下，松弛后DNNP问题的解对应于原始MOQP问题的（弱）帕累托最优解？
• RQ4 该方法能否产生反映对关键资产战略聚焦的稀疏投资配置？
• RQ5 结果对线性加权和法中权重向量的选择有多敏感？

主要发现

• 在示例5中，当λ = (0.3482, 0.1655, 0.4863)时，该方法实现了0.1894的风险和15.6800的收益，相较于[16]在风险降低和收益提升方面表现更优。
• 最优解向量x*具有稀疏性，仅有三个非零分量，表明对少数关键股票的集中投资。
• 当λ = (0.5141, 0.1931, 0.2927)时，方法得到0.1320的风险和15.5462的收益，进一步证实了其在风险与收益之间平衡的能力。
• 该方法在风险（0.1894 vs. 0.6823）和收益（15.6800 vs. 7.5079）方面均达到或优于[16]中的基准结果。
• DNNP松弛有效捕捉了原始非凸问题的结构，实现了高质量帕累托解的收敛。
• 该方法在不同权重向量下表现出鲁棒性，使投资者可调整偏好，获得定制化的风险-收益权衡。