[论文解读] Doubly probabilistic representation for the stochastic porous media type equation

Viorel Barbu, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文提出了一类在一维空间中带有乘性彩色噪声的随机多孔介质方程的双重概率表示。通过构建一个由独立布朗运动驱动的随机系数随机微分方程（在分布意义下），作者建立了该方程解的分布与非线性扩散过程之间的联系，为在无限体积下具有奇异非线性的此类方程提供了新颖的概率分析框架。

ABSTRACT

The purpose of the present paper consists in proposing and discussing a doubly probabilistic representation for a stochastic porous media equation in the whole space R^1 perturbed by a multiplicative coloured noise. For almost all random realizations $\\omega$, one associates a stochastic differential equation in law with random coefficients, driven by an independent Brownian motion.

研究动机与目标

• 为具有乘性彩色噪声的无限体积随机多孔介质方程发展一种概率表示方法。
• 将现有的双重概率方法从确定性情形推广至具有随机系数的随机设定。
• 建立解的分布与由独立布朗运动驱动的具有随机系数的非线性分布SDE之间的联系。
• 为在 $L^1(\mathbb{R})$ 中具有奇异非线性和乘性噪声的解提供一个分析框架。
• 在最小正则性假设下，将先前关于概率表示的结果推广至退化和奇异情形。

提出的方法

• 通过为每个几乎处处的 $\omega$ 关联一个由独立布朗运动驱动的随机系数随机微分方程（在分布意义下），提出一种双重概率表示。
• 将随机多孔介质方程的解定义为满足非线性分布SDE的过程 $Y_t$ 的分布：$Y_t = Y_0 + \int_0^t \Phi(u(s,Y_s)) dB_s$，其中 $u(t,\cdot)$ 是 $Y_t$ 的密度函数。
• 利用Tietze扩张定理的正则化与逼近方案，构造随机场 $F$ 的可测逼近 $F_{n,k}$。
• 通过逼近测度序列 $Q^{\kappa_\ell}$ 的弱收敛性论证，建立期望的收敛性并验证该表示。
• 利用噪声结构 $\mu(t,\xi) = \sum_{i=1}^N e^i(\xi)W^i_t + e^0(\xi)t$ 来建模方程中的乘性彩色噪声。
• 在弱假设下证明解的唯一性，包括 $\psi$ 的Lipschitz连续性以及解的可积性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $\mathbb{R}$ 中具有乘性彩色噪声的随机多孔介质方程构造出双重概率表示？
• RQ2 随机PDE的解如何表示为具有随机系数的非线性分布SDE的分布？
• RQ3 在无限体积设定下，此类概率表示的存在性与唯一性需要哪些条件？
• RQ4 该方法如何将先前确定性情形下的结果推广至具有随机系数的随机设定？
• RQ5 随机场 $\mu(t,\xi)$ 在决定解的概率结构中起什么作用？

主要发现

• 本文为 $\mathbb{R}$ 中具有乘性彩色噪声的随机多孔介质方程建立了双重概率表示，将解的分布与具有随机系数的非线性分布SDE联系起来。
• 对于几乎所有 $\omega$，解表示为满足 $Y_t = Y_0 + \int_0^t \Phi(u(s,Y_s)) dB_s$ 的过程 $Y_t$ 的分布，其中 $B$ 是与噪声独立的布朗运动。
• 该方法依赖于通过Tietze扩张定理对随机场进行可测逼近，并通过测度的弱收敛性来证明表示的合理性。
• 在最小假设下证明了解的唯一性：$\psi$ 是Lipschitz连续的，且解满足 $\mathbb{E}\left[\int_{[0,T]\times\mathbb{R}} X^2(s,\xi) d s d \xi\right] < \infty$。
• 该结果将先前的确定性概率表示推广至随机情形，包括退化和奇异非线性情形。
• 该框架适用于 $\psi$ 的非退化与退化情形，其中 $\psi(u) = \Phi^2(u)u$ 对于 $u \geq 0$，且允许 $\psi$ 在 $\mathbb{R}_+$ 上连续且单调递增。