[论文解读] Drawing (Complete) Binary Tanglegrams: Hardness, Approximation, Fixed-Parameter Tractability

Kevin Buchin, Maike Buchin+5 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2008

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文研究了绘制二元纠缠图（即具有匹配叶节点的根二叉树对）时最小化树间边交叉的计算复杂性。证明了即使在两棵树均为满二叉树的情况下，该问题仍是 NP-难的；在唯一游戏假设下建立了其不可逼近性；针对满二叉树提出了时间复杂度为 O(n³) 的 2-近似算法；并提出了一种以交叉数为参数的固定参数可追踪算法。

ABSTRACT

A \emph{binary tanglegram} is a drawing of a pair of rooted binary trees whose leaf sets are in one-to-one correspondence; matching leaves are connected by inter-tree edges. For applications, for example, in phylogenetics, it is essential that both trees are drawn without edge crossings and that the inter-tree edges have as few crossings as possible. It is known that finding a tanglegram with the minimum number of crossings is NP-hard and that the problem is fixed-parameter tractable with respect to that number. We prove that under the Unique Games Conjecture there is no constant-factor approximation for binary trees. We show that the problem is NP-hard even if both trees are complete binary trees. For this case we give an $O(n^3)$-time 2-approximation and a new, simple fixed-parameter algorithm. We show that the maximization version of the dual problem for binary trees can be reduced to a version of MaxCut for which the algorithm of Goemans and Williamson yields a 0.878-approximation.

研究动机与目标

• 理解在系统发育学与软件可视化中具有关键意义的二元纠缠图边交叉最小化问题的计算复杂性。
• 确定二元纠缠图交叉最小化问题是否存在常数因子近似算法。
• 为交叉数较小时的问题开发高效算法，即研究其固定参数可追踪性。
• 研究最优纠缠图布局的结构特性，特别是针对满二叉树的情形。
• 探讨交叉最小化与 MaxCut 及通过删边实现平面化的相关问题之间的关系。

提出的方法

• 证明了即使当两棵树均为满二叉树时，纠缠图交叉最小化问题仍是 NP-难的。
• 表明在唯一游戏假设下，二元纠缠图不存在常数因子近似算法。
• 提出一种基于树分解的动态规划方法，时间复杂度为 O(n³) 的 2-近似算法，适用于满二叉树纠缠图。
• 提出一种固定参数可追踪算法，通过大小为 O(4^k) 的搜索树探索所有子树排列，时间复杂度为 O(4^k n²)。
• 采用递归分解策略，在内部节点处固定子树排列顺序，并在每一层统计交叉数。
• 通过将对偶问题的最大化版本约化为 MaxCut 问题，利用 Goemans-Williamson 的 0.878-近似算法。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在二元纠缠图交叉最小化问题的常数因子近似算法？
• RQ2 当交叉数较小时，即问题是否具有固定参数可追踪性时，能否高效求解？
• RQ3 当两棵树均为满二叉树时，该问题的困难性是否依然存在？
• RQ4 能否有效近似对偶问题（即最大化非交叉边数）？
• RQ5 当前层交叉避免启发式方法是否足以实现最优布局，还是必须考虑全局配置？

主要发现

• 即使当两棵树均为满二叉树时，二元纠缠图交叉最小化问题仍是 NP-难的。
• 在唯一游戏假设下，该问题不存在常数因子近似算法。
• 为满二叉树纠缠图提出了时间复杂度为 O(n³) 的 2-近似算法。
• 开发了一种时间复杂度为 O(4^k n²) 的固定参数可追踪算法，其中 k 为交叉数。
• 该算法递归地探索所有子树排列，且仅靠当前层交叉避免不足以达到最优。
• 对偶问题（即最大化非交叉边数）可约化为 MaxCut 的一个变种，从而可通过 Goemans-Williamson 算法实现 0.878-近似。