[论文解读] Drawing graphs with vertices and edges in convex position

Ignacio García-Marco, Kolja Knauer|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文通过证明在严格凸位置下顶点和边中点的图（Gs_s）可以是非平面图，并且其边数上限为2n−3，从而解决了Halman、Onn和Rothblum的猜想。该研究引入了弱凸性的变体，建立了Gs_s类的精确边界（2n−3条边），并将问题与凸点集的Minkowski和联系起来，表明A+A中最大的弱凸子集大小为2n，而严格凸子集的大小介于1.5n与2n−2之间。

ABSTRACT

A graph has strong convex dimension $2$, if it admits a straight-line drawing in the plane such that its vertices are in convex position and the midpoints of its edges are also in convex position. Halman, Onn, and Rothblum conjectured that graphs of strong convex dimension $2$ are planar and therefore have at most $3n-6$ edges. We prove that all such graphs have at most $2n-3$ edges while on the other hand we present a class of non-planar graphs of strong convex dimension $2$. We also give lower bounds on the maximum number of edges a graph of strong convex dimension $2$ can have and discuss variants of this graph class. We apply our results to questions about large convexly independent sets in Minkowski sums of planar point sets, that have been of interest in recent years.

研究动机与目标

• 解决Halman、Onn和Rothblum的猜想，即强凸维度2的图是平面图，因此最多有3n−6条边。
• 确定当顶点和边中点均处于严格凸位置时，n个顶点的图可能拥有的最大边数。
• 探索并表征使用弱凸性的图绘制变体，并为这些类别建立紧致边界。
• 将图绘制问题与在平面点集Minkowski和中寻找大凸子集的问题联系起来，特别是针对凸输入集的情况。

提出的方法

• 基于顶点集和中点集的凸性类型（严格、弱或任意）引入并分类图绘制类别Gj_i。
• 使用几何扰动技术将弱凸中点集转化为严格凸中点集，证明Gs_s = Gs_w。
• 通过仿射变换和凸包分析，证明K4−e属于Gw_s但不属于Gs_s，从而确立严格包含关系。
• 通过组合与几何论证，分析顶点可见性和对新增顶点的边可见性，对Gs_s和Gw_s中的边数进行边界估计。
• 通过将图绘制问题转化为Minkowski和设定，将边中点与A+A中的点关联，并定义调整后的计数egj_i(n)以反映顶点与中点的对应关系。
• 利用可见性约束和涉及看到0、1或2条关联边的顶点的计数不等式，推导出边数和可添加顶点数的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 Halman、Onn和Rothblum所猜想的强凸维度2的所有图是否都是平面图？
• RQ2 当一个n个顶点的图的顶点和边中点均处于严格凸位置时，其最大边数是多少？
• RQ3 Gs_s类在添加叶子节点时是否封闭？哪些结构特性可确保图属于Gs_s或Gw_s？
• RQ4 对于一个凸的平面n点集A，其Minkowski和A+A中最大的凸子集可能有多大？
• RQ5 对顶点和中点施加弱凸性约束，如何影响此类图的最大边数？

主要发现

• Gs_s类包含非平面图，从而否定了所有此类图均为平面图的猜想。
• 强凸维度2图的最大边数至多为2n−3，优于此前猜想的3n−6上界。
• 对于n≥3，Gw_s类的边数恰好为2n−3，且该上界是紧致的，如在凸多边形上绘制的环图Cn所示。
• 对于一个凸的平面n点集A，A+A中最大的弱凸子集大小恰好为2n，该结果通过凸多边形绘制实现。
• 对于一个凸的平面n点集A，A+A中最大的严格凸子集大小介于32n与2n−2之间，其中下界由一个独立顶点集与所有中点构成。
• Gs_s类在添加叶子节点时不是封闭的，反例已证明；但通过边的细分可使Gs_s中的图保持在该类中。