[论文解读] DREAM, a program for arbitrary-precision computation of dimensional recurrence relations solutions, and its applications

Roman N. Lee, Kirill T. Mingulov|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2017

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 18被引用 7

一句话总结

DREAM 是一个 Mathematica 软件包，用于使用维度递推与解析性（DRA）方法对多圈积分进行任意精度计算，自动化求解非三角形的维度递推关系系统。它能够对具有因子化被求和项的嵌套求和实现高精度计算，并提供定义齐次解的工具，从而首次实现了对正电子素态衰变至四光子宽度的解析计算。

ABSTRACT

We present the Mathematica package DREAM for arbitrarily high precision computation of multiloop integrals within the DRA (Dimensional Recurrence & Analyticity) method as solutions of dimensional recurrence relations. Starting from these relations, the package automatically constructs the inhomogeneous solutions and reduces the manual efforts to setting proper homogeneous solutions. DREAM also provides means to define the homogeneous solutions of the higher-order recurrence relations (and can construct those of the first-order recurrence relations automatically). Therefore, this package can be used to apply the DRA method to the topologies with sectors having more than one master integral. Two nontrivial examples are presented: four-loop fully massive tadpole diagrams of cat-eye topology and three-loop cut diagrams which are necessary for computation of the width of the para-positronium decay into four photons. The analytical form of this width is obtained here for the first time to the best of our knowledge.

研究动机与目标

• 自动化求解多圈费曼积分计算中出现的非三角形维度递推关系系统。
• 减少在 DRA 方法中构建非齐次解与齐次解的手动工作量。
• 通过收敛加速技术，实现对具有因子化被求和项的嵌套求和的高精度数值计算。
• 将 DRA 方法的适用范围扩展至每个扇区包含多个主积分的拓扑结构。
• 为高能物理研究社区提供一个用户友好的工具，用于解析计算复杂的多圈振幅。

提出的方法

• 该软件包在 DRA 框架下，自动从递推关系矩阵构造非齐次解。
• 它应用收敛加速技术，高效计算具有因子化被求和项的嵌套求和。
• 支持用户自定义高阶递推关系的齐次解，同时对一阶情况实现自动构造。
• 它利用被求和项的因子化结构，实现多个嵌套求和的多项式时间计算。
• 通过确保结果具有足够精度，与 PSLQ 算法集成，以支持整数关系检测。
• 它可处理三角形与非三角形递推矩阵，将 DRA 方法的应用扩展至标量求和系统之外。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将 DRA 方法应用于具有非三角形递推矩阵的多圈积分？
• RQ2 对于此类系统中出现的具有因子化被求和项的嵌套求和，最高效的高精度计算方法是什么？
• RQ3 如何系统地构造并整合高阶递推关系的齐次解到解框架中？
• RQ4 DRA 方法能否实现自动化，以减少多圈计算中的手动干预？
• RQ5 对于此前难以处理的图，如四圈全质量圈图和三圈切割图，能够获得哪些解析结果？

主要发现

• 首次使用 DREAM 软件包解析计算出正电子素态衰变至四光子宽度的解析表达式。
• 该软件包成功以高精度计算出猫眼拓扑的四圈全质量圈图。
• 在 d=4-2ε 和 d=3-2ε 下，主积分比 T4、T5、T9 和 T10 分别解析计算至 ε² 和 ε³ 阶。
• 在 d=4-2ε 下，T4 和 T5 的结果与先前发表的数值和解析数据完全一致。
• 该软件包能够以高精度计算特殊常数，如 SR2a = ∑₁/(6n+1)² 和 SR3b = ∑∑ 1/(6n+1)²(1/(6k+1) - 1/(6k+3))。
• 通过使用收敛加速和任意精度算术，确保结果适用于基于 PSLQ 的整数关系检测。