[论文解读] Drift and entropy growth for random walks on groups

Anna Erschler-Dyubina|ArXiv.org|Jan 9, 2001

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文构建了具有极慢漂移和熵增长的群，具体表明漂移 $ L(n) $ 的渐近行为可达到 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $，其中 $ k \geq 1 $ 任意，且熵 $ H(n) $ 的增长也可达到相同形式，从而证明在有限生成群上的随机游走中，漂移与熵均存在无穷多个不同的次线性增长速率。

ABSTRACT

In this paper we consider finitary symmetric random walks on groups. We construct new possible asymptotics for the drift. We show that the drift can be very close to linear ant yet sublinear. We also give estimates for entropy growth of these random walks. In particular, we prove that there exist infinitely many asymptotics of entropy.

研究动机与目标

• 构建群，使得对称随机游走的漂移 $ L(n) $ 增长速度慢于任意多项式但快于 $ \sqrt{n} $，具体实现 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $，其中 $ k \geq 1 $ 任意。
• 分析此类随机游走对应的熵增长 $ H(n) $，并证明其亦可实现相同的次线性渐近速率。
• 证明在有限生成群上的随机游走中，漂移与熵的渐近增长速率存在无穷多个不同的类型。
• 通过递归对数迭代构造中间增长速率，扩展已知的线性与 $ \sqrt{n} $ 型漂移增长之间的二分法。
• 利用词长的二阶矩与群中球体的体积增长，建立熵的紧致界。

提出的方法

• 通过 $ \mathbb{Z} $ 的迭代半直积构造群，利用递归结构控制随机游走的增长。
• 应用二维简单随机游走的结果来估计局部时与范围，利用 $ \mathbb{E}[R^{(n)}] \asymp n / \ln n $ 的事实。
• 使用一个关键辅助引理，证明形如 $ x / (\ln^{(k)} x)^\alpha $ 的函数在大 $ x $ 时具有凹性，从而支持矩估计。
• 对二维游走的局部时间 $ b_z^{(n)} $ 应用凹函数泛函，以控制 $ \mathbb{E}[\sum_z f(b_z^{(n)})] $，进而导出漂移估计。
• 通过不等式 $ H(n) \geq C \cdot \mathbb{E}[l^2(g)] / n - \ln n $ 推导熵界，将熵与词长的二阶矩联系起来。
• 利用球体体积增长 $ v(n) $ 得到 $ H(n) \leq \ln v(n) $，并结合漂移估计推导熵的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有限生成群上，对称随机游走的漂移 $ L(n) $ 是否可以以严格介于 $ \sqrt{n} $ 与线性之间的速率增长？若是，可能的中间速率是什么？
• RQ2 此类随机游走的熵 $ H(n) $ 是否可以次线性增长但任意接近线性？其可能的增长速率有哪些？
• RQ3 是否存在群使得漂移与熵均以 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 的速率增长，其中 $ k \geq 1 $ 任意，且这些速率是否产生不同的渐近行为？
• RQ4 词长二阶矩的增长与随机游走熵之间存在何种关系？
• RQ5 能否利用迭代对数函数的凹性性质，为二维随机游走中局部时间泛函导出紧致界？

主要发现

• 所构造群上对称随机游走的漂移 $ L(n) $ 的渐近增长可达到 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $，其中 $ k \geq 1 $ 固定，展示了新的中间增长速率类别。
• 同一随机游走的熵 $ H(n) $ 亦以 $ n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $ 的速率增长，与漂移速率渐近一致。
• 对每个 $ k \geq 1 $，均存在一个群及一个对称随机游走，使得 $ H_{G_k}(n) \asymp n / \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $，表明存在无穷多个不同的熵增长速率。
• 词长的二阶矩满足 $ \mathbb{E}[l^2(g)] \asymp n \cdot H(n) $，将熵的增长与游走的扩散程度联系起来。
• 漂移满足 $ L(n) \leq K \sqrt{n(\ln v(n) + \ln n)} $，且对所构造的例子，有 $ v(n) \asymp n \cdot \underbrace{\ln(\ln(\cdots \ln(n)\cdots))}_{k} $，与熵的增长速率一致。
• 该构造依赖于函数 $ x / (\ln^{(k)} x)^\alpha $ 在大 $ x $ 时的凹性，该性质通过导数分析与递归对数结构的推导得以证明。