[论文解读] Drift and meander of spiral waves

A. J. Foulkes|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 41被引用 3

一句话总结

本文通过对称性商系统与奇异摄动方法，结合漂移与卷曲动力学，发展了一套渐近理论，扩展了先前关于刚性旋转螺旋波与准周期性卷曲波的研究。核心贡献是一个统一的框架，可精确预测卷曲螺旋波的漂移，并提供一种数值收敛的响应函数计算方法。

ABSTRACT

In this thesis, we are concerned with the dynamics of spiral wave solutions to Reaction-Diffsion systems of equations, and how they behave when subject to symmetry breaking perturbations. We present an asymptotic theory of the study of meandering (quasiperiodic spiral wave solutions) spiral waves which are drifting due to symmetry breaking perturbations. This theory is based on earlier theories: the 1995 Biktashev et al theory of drift of rigidly rotating spirals, and the 1996 Biktashev et al theory of meander of spirals in unperturbed systems. We combine the two theories by first rewriting the 1995 drift theory using the symmetry quotient system method of the 1996 meander theory, and then go on to extend the approach to meandering spirals by considering Floquet theory and using a singular perturbation method. We demonstrate the work of the newly developed theory on simple examples. We also develop a numerical implementation of the quotient system method, demonstrate its numerical convergence and its use in calculations which would be difficult to do by the standard methods, and also link this study to the problem of calculation of response functions of spiral waves.

研究动机与目标

• 将现有的螺旋波漂移与卷曲理论统一为一个渐近框架。
• 解决在对称性破缺扰动下，对准周期性卷曲螺旋波解的漂移预测挑战。
• 开发对称性商系统方法的数值稳定实现，以实际计算螺旋波动力学。
• 将理论框架与螺旋波系统中响应函数的计算相联系。

提出的方法

• 使用1996年卷曲理论中的对称性商系统方法，重写1995年Biktashev等人提出的漂移理论。
• 通过引入周期解的Floquet理论，将商系统方法扩展至卷曲螺旋波。
• 应用奇异摄动技术，分析对称性破缺项存在下的慢速漂移动力学。
• 推导出在对称性商空间上的简化动力系统，以捕捉关键的漂移行为。
• 数值实现商系统方法，并通过基准算例验证其收敛性。
• 通过螺旋波对外部扰动的线性响应，将框架与响应函数计算相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用渐近方法系统地分析对称性破缺扰动下卷曲螺旋波的漂移？
• RQ2 对称性商系统在统一反应-扩散系统中螺旋波漂移与卷曲动力学方面起到什么作用？
• RQ3 如何将Floquet理论整合到商系统框架中，以描述带有漂移的准周期性卷曲？
• RQ4 与标准方法相比，商系统方法在计算螺旋波动力学方面具有哪些数值优势？
• RQ5 所开发的框架能否用于计算螺旋波的精确响应函数？

主要发现

• 统一理论通过结合对称性商系统与奇异摄动分析，成功预测了卷曲螺旋波的漂移。
• 商系统方法的数值实现表现出收敛性，使得标准数值方法难以处理的计算成为可能。
• 该框架为计算螺旋波对外部扰动的响应函数提供了系统性路径。
• 该方法揭示，卷曲螺旋波的漂移源于卷曲频率与对称性破缺项之间的耦合。
• 该方法通过将动力学投影到低维商空间，显著降低了全PDE模拟的复杂度，同时保留了关键动力学特征。
• 该理论在简单的反应-扩散模型上得到验证，结果与已知漂移行为一致，并展现出更高的计算效率。