[论文解读] Drinfeld Centers and Morita Equivalence Classes of Fusion 2-Categories

Thibault D. Décoppet|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 16

一句话总结

本文证明了融合2-范畴的Drinfeld中心在Morita等价下保持不变，证明了每个融合2-范畴都与一个连通的融合2-范畴Morita等价，也与一个强融合2-范畴和一个可逆融合2-范畴的乘积Morita等价。此外，本文还表明所有融合2-范畴都是可分的，其Drinfeld中心是有限半单2-范畴，且任意融合2-范畴的维数非零。

ABSTRACT

We prove that the Drinfeld center of a fusion 2-category is invariant under Morita equivalence. We go on to show that the concept of Morita equivalence between connected fusion 2-categories recovers exactly the notion of Witt equivalence between braided fusion 1-categories. A strongly fusion 2-category is a fusion 2-category whose braided fusion 1-category of endomorphisms of the monoidal unit is $\mathbf{Vect}$ or $\mathbf{SVect}$. We prove that every fusion 2-category is Morita equivalent to the 2-Deligne tensor product of a strongly fusion 2-category and an invertible fusion 2-category. We proceed to show that every fusion 2-category is Morita equivalent to a connected fusion 2-category. As a consequence, we find that every rigid algebra in a fusion 2-category is separable. This implies in particular that every fusion 2-category is separable. Conjecturally, separability ensures that a fusion 2-category is 4-dualizable. We define the dimension of a fusion 2-category, and prove that it is always non-zero. Finally, we show that the Drinfeld center of any fusion 2-category is a finite semisimple 2-category.

研究动机与目标

• 证明融合2-范畴的Drinfeld中心在Morita等价下保持不变。
• 证明连通融合2-范畴的Morita等价对应于其关联的有 braided 融合1-范畴的Witt等价。
• 证明每个融合2-范畴都与一个连通融合2-范畴Morita等价。
• 建立每个融合2-范畴都是可分的，且其Drinfeld中心是有限半单的。
• 定义并证明融合2-范畴的维数非零。

提出的方法

• 利用融合2-范畴的Morita理论，基于先前的工作 [Déc21a, Déc21c, Déc23c, Déc23a]。
• 应用2- Deligne张量积的概念，将融合2-范畴分解为强融合与可逆分量。
• 采用连通融合2-范畴的概念，定义为与某个braided 融合1-范畴的模范畴2-范畴等价的范畴。
• 利用通过双模等价于范畴与其对偶范畴张量积上可分代数的模范畴来表征可分性。
• 利用 [DSPS21] 和 [JFR23] 的结果，将高阶范畴中的可分性与对偶性联系起来。
• 应用群上同调与4-上循环来分类由2-向量空间和braided 融合1-范畴构建的融合2-范畴的Morita等价类。

实验结果

研究问题

• RQ1 融合2-范畴的Drinfeld中心在Morita等价下是否保持不变？
• RQ2 连通融合2-范畴的Morita等价如何与它们底层braided 融合1-范畴的Witt等价相关联？
• RQ3 每个融合2-范畴是否都能在Morita等价意义下分解为一个强融合2-范畴与一个可逆融合2-范畴的乘积？
• RQ4 每个融合2-范畴是否都是可分的，这是否意味着4-对偶性？
• RQ5 融合2-范畴的维数是什么，是否总是非零？

主要发现

• 融合2-范畴的Drinfeld中心在Morita等价下保持不变，推广了融合1-范畴中的一个结果。
• 每个融合2-范畴都与一个连通融合2-范畴Morita等价，这意味着任意融合2-范畴的Drinfeld中心是有限半单的。
• 每个在融合2-范畴中的刚性代数都是可分的，因此每个融合2-范畴都是可分的。
• 任意融合2-范畴的维数非零，这是TQFT应用中的关键性质。
• 融合2-范畴的Drinfeld中心是一个可分解的braided 多融合2-范畴，即从中心与其中心的逆的张量积到中心的双倍的自然braided函子是一个等价。
• 由2-向量空间和braided 融合1-范畴构建的融合2-范畴的Morita等价类由群同构和 $H^4(G; ar{k}^ imes)$ 中的上同调类分类，且在外部自同构下取商。