[论文解读] Drinfeld centers of fusion categories arising from generalized Haagerup subfactors

Pinhas Grossman, Masaki Izumi|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 25被引用 4

一句话总结

本论文计算了由广义Haagerup子因子构造的融合范畴的Drinfeld中心的模数据，特别关注$4442$子因子及相关范畴。通过Cuntz代数框架和管代数技术，推导出$S$和$T$矩阵的显式公式，确定了Drinfeld中心中所有简单对象的集合，并为新的二次模范畴无限族提供了证据。

ABSTRACT

We consider generalized Haagerup categories such that $1 \oplus X$ admits a $Q$-system for every non-invertible simple object $X$. We show that in such a category, the group of order two invertible objects has size at most four. We describe the simple objects of the Drinfeld center and give partial formulas for the modular data. We compute the remaining corner of the modular data for several examples and make conjectures about the general case. We also consider several types of equivariantizations and de-equivariantizations of generalized Haagerup categories and describe their Drinfeld centers. In particular, we compute the modular data for the Drinfeld centers of a number of examples of fusion categories arising in the classification of small-index subfactors: the Asaeda-Haagerup subfactor; the $3^{\Z_4} $ and $3^{\Z_2 imes \Z_2} $ subfactors; the $2D2$ subfactor; and the $4442$ subfactor. The results suggest the possibility of several new infinite families of quadratic categories. A description and generalization of the modular data associated to these families in terms of pairs of metric groups is taken up in the accompanying paper \cite{GI19_2}.

研究动机与目标

• 确定由广义Haagerup子因子导出的融合范畴的Drinfeld中心的结构。
• 计算$4442$子因子及其相关范畴的Drinfeld中心的模数据（$S$和$T$矩阵）。
• 研究在$1\oplus X$允许存在$Q$-系统时，广义Haagerup范畴中可逆对象的存在性与分类。
• 探讨广义Haagerup范畴及其Drinfeld中心的等变化与去等变化。
• 通过显式模数据计算，为新的二次模张量范畴无限族提供证据。

提出的方法

• 利用Cuntz $C^*$-代数框架，通过$\mathcal{O}_{|G|+1}$的自同态实现广义Haagerup范畴。
• 应用管代数形式化方法，计算半辫子结构并识别Drinfeld中心中的极小中心投影。
• 通过$\mathbf{t}$-算子的特征值分析，对不可约半辫子结构进行分类，并确定$T$-特征值。
• 利用Verlinde公式和简单对象的分块索引，推导出$S$-矩阵的显式公式。
• 利用$1\oplus X$上的$Q$-系统条件定义广义Haagerup子因子，并确保幺正性。
• 应用等变化与去等变化技术，关联不同融合范畴及其中心。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于$1\oplus X$允许存在$Q$-系统的广义Haagerup子因子导出的融合范畴，其Drinfeld中心的结构是什么？
• RQ2 对于$4442$子因子及其相关融合范畴的Drinfeld中心，其模数据（$S$和$T$矩阵）是什么？
• RQ3 在$1\oplus X$允许存在$Q$-系统的广义Haagerup范畴中，阶为二的可逆对象最多有多少个？
• RQ4 这些中心的模数据能否如附录论文[GI19]所建议的那样，用度量群对来描述？
• RQ5 所计算的模数据对新无限组二次模张量范畴存在的影响是什么？

主要发现

• 在$1\oplus X$允许存在$Q$-系统的广义Haagerup范畴中，阶为二的可逆对象构成的群的大小至多为四。
• $4442$融合范畴的Drinfeld中心有48个简单对象，分为八个块，大小分别为6、2、6、2、6、2、12和12。
• $4442$子因子的Drinfeld中心的$S$-矩阵已被显式计算并展示在图7中，其条目涉及$\omega$、$\zeta_5$以及$\pi/5$的三角函数。
• $T$-矩阵的特征值为$1, -1, \zeta_5^\varepsilon, \omega, \omega\zeta_5^{\varepsilon_1}$，其中$\omega$为单位根的立方根。
• 模数据计算为新的二次模张量范畴无限族的存在提供了强有力的数值证据。
• Asaeda-Haagerup、$3^{\mathbb{Z}_4}$、$3^{\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2}$和$2D2$子因子的结果与广义Haagerup范畴及其中心的统一框架一致。