[论文解读] Drinfeld double of quantum groups, tilting modules and $\mathbb{Z}$-modular data associated to complex reflection groups

Abel Lacabanne|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用 2

一句话总结

该论文通过在单位根处的量子群的Drinfeld双代数，构造了对称中心等价于Rep(G, z)的融合范畴，其中G为循环群，z ∈ G且z² = 1。证明了当slₙ₊₁在偶次单位根处时，范畴Z(Tξ) ⋊ S的对称中心为Rep(ℤ/(n+1)ℤ)，当n为偶数时；或为Rep(ℤ/(n+1)ℤ, (n+1)/2)，当n为奇数时；并表明这给出了与Malle对复反射群的傅里叶矩阵一致的Z-模形式数据。

ABSTRACT

Generalizing Lusztig's work, Malle has associated to some imprimitive complex reflection group $W$ a set of "unipotent characters", which are in bijection of the usual unipotent characters of the associated finite reductive group if $W$ is a Weyl group. He also obtained a partition of these characters into families and associated to each family a $\mathbb{Z}$-modular datum. We construct a categorification of some of these data, by studying the category of tilting modules of the Drinfeld double of the quantum enveloping algebra of the Borel of a simple complex Lie algebra.

研究动机与目标

• 通过张量范畴对与复反射群相关的Z-模形式数据进行范畴化，特别是对非本原的spetsial类型。
• 通过引入超范畴，解决对具有非正结构常数的Z-代数进行范畴化的挑战。
• 建立Malle的未幂零特征标所得到的模形式数据与在单位根处的量子群表示所得到的数据之间的联系。
• 计算与单李代数相关的量子群Drinfeld双代数的范畴Z(Tξ) ⋊ S的对称中心。
• 证明在A型且单位根为偶数的情形下，所得的模形式数据与Malle的傅里叶矩阵一致。

提出的方法

• 构造复单李代数g的Borel子代数的Drinfeld双代数Dq(g)。
• 在单位根ξ处特化Dq(g)，并考虑倾斜模全子范畴的半简化。
• 对一个整数子范畴进行部分模化，以得到一个对称中心等价于Rep(G, z)（G为循环群且z² = 1）的范畴。
• 将范畴Z(Tξ) ⋊ S定义为所得的融合范畴，其具有对称中心。
• 利用Z(Tξ) ⋊ S的Grothendieck环提取模形式数据（S和T矩阵），并与Malle的Z-模形式数据进行比较。
• 当Grothendieck群具有负结构常数时，使用超范畴，并通过超维数对S-矩阵进行重归一化。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过在单位根处的量子群表示对与复反射群相关的Z-模形式数据进行范畴化？
• RQ2 由Uq(slₙ₊₁)在偶次单位根处的Drinfeld双代数的倾斜模构造的范畴Z(Tξ) ⋊ S的对称中心是什么？
• RQ3 所得融合范畴的S和T矩阵如何与Malle对未幂零特征标的傅里叶矩阵相关联？
• RQ4 在何种情况下，范畴Z(Tξ) ⋊ S会给出与Malle构造一致的Z-模形式数据？
• RQ5 像G₂₄这样的例外复反射群是否能通过B型中的类似构造进行类似范畴化？

主要发现

• 当g = slₙ₊₁且ξ为偶数阶单位根时，若n为偶数，则Z(Tξ) ⋊ S的对称中心为Rep(ℤ/(n+1)ℤ)。
• 当n为奇数时，对称中心为Rep(ℤ/(n+1)ℤ, (n+1)/2)，即一个扭曲群代数范畴。
• 对于复反射群G(d,1,n(n+1)/2)（d ≥ n），Z(Tξ) ⋊ S的Z-模形式数据与Malle的数据一致。
• 在G₂₄（Shephard-Todd型）的情形下，经由√−28重归一化后，超融合范畴ÛC的S和T矩阵与Malle的傅里叶矩阵及弗罗贝尼乌斯特征值匹配。
• 经由i√28（其中i = ξ⁷）归一化的范畴ÛC的S-矩阵等于Malle的S-矩阵，且T-矩阵完全匹配。
• 该构造产生了一个略微退化的超融合范畴，其对称中心中非单位对象的维数为−1，扭量为1。