[论文解读] Drinfeld realization of the elliptic Hall algebra

Olivier Schiffmann|arXiv (Cornell University)|Apr 15, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提供了椭圆 Hall 代数的 Drinfeld 型表示，类似于 Drinfeld 对量子仿射代数的新实现。它证明了球面椭圆 Hall 代数的 Drinfeld 双代数由二次关系和一组三次关系所控制，解决了 Kapranov 关于 Eisenstein 系列函数方程的问题，并验证了 Feigin、Feigin、Jimbo、Miwa 和 Mukhin 的近期猜想。

ABSTRACT

We give a new presentation of the Drinfeld double of the elliptic Hall algebra introduced in a previous work with I. Burban. This presentation is similar in spirit to Drinfeld's `new realization' of quantum affine algebras. This answers, in the case of elliptic curves, a question of Kapranov concerning functional relations satisfied by (principal, unramified) Eisenstein series for the groups GL(n) over a function field. It also provides proofs of some recent conjectures of Feigin, Feigin, Jimbo, Miwa and Mukhin.

研究动机与目标

• 提供球面椭圆 Hall 代数的 Drinfeld 双代数的 Drinfeld 型表示，类似于 Drinfeld 对量子仿射代数的新实现。
• 回答 Kapranov 关于函数域上 GL(n) 的无 ramified Eisenstein 系列在椭圆曲线情形下的函数关系问题。
• 证明椭圆 Hall 代数可由 Drinfeld 生成元通过标准二次关系和一组三次关系生成。
• 验证 Feigin、Feigin、Jimbo、Miwa 和 Mukhin 近期关于代数结构和表示理论的猜想。

提出的方法

• 该方法依赖于先前工作 [BS] 中通过 ℤ² 中的格路对椭圆 Hall 代数进行的组合实现。
• 证明通过路径的次数进行归纳，利用路径的极小性以及相关三角形中无内部格点的性质。
• 代数使用 Drinfeld 生成元 𝕋₀⁺(z)、𝕋₀⁻(z)、𝕋₁(z) 和 𝕋₋₁(z) 表示，其余代数结构由这些生成元的余乘公式给出。
• 通过分析 shuffle 代数的结构以及代数在 Hilbert 变换 K-理论上的作用，推导出关系式。
• 通过归纳法和从通用代数到 Hall 代数的映射的单射性，证明某些换位子模理想 J 为零。
• 通过涉及 Drinfeld 生成元的余乘公式，明确描述了霍普夫代数结构，表明正部分和负部分是子双代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当基曲线为椭圆曲线时，函数域上 GL(n) 的无 ramified Eisenstein 系列由何种函数关系控制？
• RQ2 如何以类似于 Drinfeld 对量子仿射代数新实现的方式，对球面椭圆 Hall 代数的 Drinfeld 双代数进行表示？
• RQ3 本文推导出的三次关系是否解决了 Feigin、Feigin、Jimbo、Miwa 和 Mukhin 关于椭圆 Hall 代数结构的猜想？
• RQ4 椭圆 Hall 代数上是否存在与 Drinfeld 实现相容的霍普夫代数结构？
• RQ5 在考虑 Drinfeld 表示中的余乘时，SL(2,ℤ) 对称性是否仍然保持？

主要发现

• 球面椭圆 Hall 代数的 Drinfeld 双代数可通过满足标准二次关系和一组额外三次关系的 Drinfeld 生成元表示，如定理 4 所述。
• 证明确认该代数同构于 Drinfeld 实现的通用包络代数，同构由格路模型诱导。
• 在 Drinfeld 实现中显式计算了余乘，表明正部分和负部分是子双代数。
• SL(2,ℤ) 对称性在余乘层面被打破，尽管幂零子群作为霍普夫代数自同态作用。
• 结果验证了 [FFJMM1] 中的若干猜想，特别是关于椭圆 Hall 代数的代数结构和表示理论的猜想。
• 证明该代数同构于球面 Cherednik 代数的稳定极限，并作用于 ℂ² 中点的 Hilbert 变换 K-理论。