[论文解读] Drinfeld's Lemma for Perfectoid Spaces and Overconvergence of Multivariate $(\phi, \Gamma)$-Modules

Annie Carter, Kiran S. Kedlaya+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 26被引用 7

一句话总结

该论文通过完美oid空间和Drinfeld引理的新形式，建立了p进域的绝对伽罗华群积的连续p进伽罗华表示的多变量Fontaine (ϕ, Γ)-模理论的推广。它构造了此类表示与多变量幂级数环上投影的étale (ϕ∆, Γ∆)-模之间的等价关系，并证明伽罗华上同调同构于多变量Herr复形的上同调，通过Shapiro引理和完美oid域上的基变换，将经典结果推广至高秩情形。

ABSTRACT

Let $p$ be a prime, let $K$ be a finite extension of $\mathbb{Q}_p$, and let $n$ be a positive integer. We construct equivalences of categories between continuous $p$-adic representations of the $n$-fold product of the absolute Galois group $G_K$ and $(φ, Γ)$-modules over one of several rings of $n$-variable power series. The case $n=1$ recovers the original construction of Fontaine and the subsequent refinement by Cherbonnier--Colmez; for general $n$, the case $K = \mathbb{Q}_p$ had been previously treated by the third author. To handle general $K$ uniformly, we use a form of Drinfeld's lemma on profinite fundamental groups of products of spaces in characteristic $p$, but for perfectoid spaces instead of schemes. We also construct the multivariate analogue of the Herr complex to compute Galois cohomology; the case $K = \mathbb{Q}_p$ had been previously treated by Pal and the third author, and we reduce to this case using a form of Shapiro's lemma.

研究动机与目标

• 为p进域的伽罗华群积发展多变量(ϕ, Γ)-模的系统理论，推广Fontaine的经典理论。
• 在多变量环如OE∆(K)、eOE∆(K)、O†E∆(K)和eO†E∆(K)上，建立GK,∆的连续p进表示范畴与投影的étale (ϕ∆, Γ∆)-模范畴之间的等价关系。
• 构造用于计算伽罗华上同调的多变量Herr复形，并通过基变换和Shapiro引理证明其与伽罗华上同调的同构性。
• 将理论推广至Qp的不同有限扩张的伽罗华群积的情形，并通过下降法和环论基变换将K=Qp的情形统一起来。

提出的方法

• 利用完美oid空间的Drinfeld引理的新形式，将特征p的完美oid空间积的étale基本群与特征0的情形联系起来，推广经典域的典范同构。
• 构造多变量幂级数环（如OE∆(K)），其上具有每个因子的Frobenius ϕα与伽罗华群ΓK,α的交换作用。
• 将投影的étale (ϕ∆, Γ∆)-模定义为具有交换半线性ϕα与ΓK,α作用的有限自由模，其中ϕα∗是同构。
• 通过连续(ϕ∆, Γ∆)-上链复形引入多变量Herr复形，以计算伽罗华上同调。
• 应用诱导模的Shapiro引理，利用群环扩张的忠实平坦性，将一般K上的上同调计算约化至K=Qp的情形。
• 通过基变换Zp[ΓK,∆] → Zp[ΓQp,∆]，将上同调的同构从最大分圆扩张下降到任意K。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将一维伽罗华表示的经典的(ϕ, Γ)-模等价关系推广至p进域的伽罗华群积？
• RQ2 Drinfeld引理由原用于正特征的概形，如何推广至完美oid空间的设定？
• RQ3 伽罗华上同调的Herr复形能否推广至多变量(ϕ, Γ)-模？其是否与伽罗华上同调同构？
• RQ4 当基域不是Qp时，(ϕ∆, Γ∆)-模的上同调在基变换和诱导下如何行为？
• RQ5 该理论能否推广至ϕα为双射的环如eOE∆(K)和eO†E∆(K)上的表示？

主要发现

• GK,∆在有限自由Zp-模上的连续表示范畴，与OE∆(K)、eOE∆(K)、O†E∆(K)和eO†E∆(K)上投影的étale (ϕ∆, Γ∆)-模范畴之间存在自然等价。
• 对于有限维Qp-向量空间上的表示，该等价关系在E∆(K)、eE∆(K)、E†∆(K)和eE†∆(K)上成立。
• 伽罗华上同调Hi(GK,∆, ·)同构于多变量Herr复形的上同调hi−dΨ•(D(·))，其中d = |∆|。
• 伽罗华上同调与(ϕ∆, Γ∆)-上同调之间的同构，通过群环扩张Zp[ΓK,∆] → Zp[ΓQp,∆]的忠实平坦性，从K=Qp的情形下降得到。
• 该上同调同构对Zp-和Qp-表示均成立，并通过基变换推广至过拟合环O†E∆(K)和E†∆(K)。
• 结果可推广至Qp的不同有限扩张的伽罗华群积的情形，通过Shapiro引理和诱导，建立了类似的等价关系与上同调同构。