[论文解读] Dual Bass Numbers and Co-Cohen Macaulay Modules

Lingguang Li|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文通过双Bass数的消失性，刻画了诺特环上对偶科亨-麦克唐纳模，建立了与经典科亨-麦克唐纳理论的对偶性。证明了在特定条件下，对偶局部化保持对偶科亨-麦克唐纳性，并表明对偶科亨-麦克唐纳性等价于每个对偶支撑素理想下方的双Bass数消失。

ABSTRACT

In this paper, we give a characterization of co-Cohen Macaulay modules by vanishing properties of the dual Bass numbers of modules. In addition, we show that the co-localization of co-Cohen Macaulay modules preserves co-Cohen Macaulayness under a certain condition.

研究动机与目标

• 通过双Bass数的消失性性质，提供对偶科亨-麦克唐纳模的对偶刻画。
• 研究对偶局部化是否保持对偶科亨-麦克唐纳性，特别是在特定环条件下。
• 通过双Bass数建立经典科亨-麦克唐纳模与对偶科亨-麦克唐纳模之间的对偶性。
• 阐明阿廷模中对偶维数、对偶支撑与对偶正则序列之间的关系。
• 将关于双Bass数和对偶局部化的已知结果推广到U-环上的对偶科亨-麦克唐纳模。

提出的方法

• 使用通过M的极小平坦化解定义的双Bass数πᵢ(𝔭, M)，其中πᵢ(𝔭, M) = dimₖ(𝔭) Torᵢᴿₚ(k(𝔭), Homᴿ(Rₚ, M))。
• 通过Homᴿ(Rₛ, M)应用对偶局部化，其中S为乘法集，将对偶支撑定义为CosᴿM = {𝔭 ∈ Spec R | Homᴿ(Rₚ, M) ≠ 0}。
• 引入对偶维数CdimᴿM = sup{dim R/𝔭 | 𝔭 ∈ CosᴿM}，以及对偶高度htᴹ𝔭 = sup 长度的链在CosᴿM中以𝔭为终点。
• 采用条件Annᵣ(0:ₘ𝔭) = 𝔭对所有𝔭 ∈ V(AnnᵣM)成立，该条件在U-环（如完备局部环）中成立。
• 应用先前工作（如[6], [7]）中关于诺特维数和对偶局部化的结论，以关联对偶正则序列与对偶阶。
• 利用对偶科亨-麦克唐纳性与πᵢ(𝔭, M) = 0对所有i < htᴹ𝔭及所有𝔭 ∈ CosᴿM的等价性，结合对所有𝔪 ∈ SuppᴿM有htᴹ𝔪 = CdimᴿM。

实验结果

研究问题

• RQ1 在诺特环上的阿廷模中，对偶局部化在何种条件下保持对偶科亨-麦克唐纳性？
• RQ2 如何通过双Bass数的消失性来刻画对偶科亨-麦克唐纳模？
• RQ3 在对偶科亨-麦克唐纳模中，对偶正则序列、对偶阶与对偶维数之间有何关系？
• RQ4 在U-环上，对偶科亨-麦克唐纳模的对偶支撑是否满足链条件（catenary）？
• RQ5 双Bass数与双Bass数之间的对偶性，与科亨-麦克唐纳模与对偶科亨-麦克唐纳模之间的对偶性在多大程度上相互对应？

主要发现

• 对偶科亨-麦克唐纳性等价于对所有i < htᴹ𝔭及所有𝔭 ∈ CosᴿM有πᵢ(𝔭, M) = 0，且对所有𝔪 ∈ SuppᴿM有htᴹ𝔪 = CdimᴿM。
• 当R为U-环且M满足对所有𝔭 ∈ V(AnnᵣM)有Annᵣ(0:ₘ𝔭) = 𝔭时，对偶局部化保持对偶科亨-麦克唐纳性。
• 在U-环上，对偶科亨-麦克唐纳模的对偶支撑是链条件的：CosᴿM中从𝔮到𝔭的所有饱和链长度等于ht(𝔭/𝔮)。
• 对任意对偶科亨-麦克唐纳模M，有𝔪 ∈ SuppᴿM的对偶阶等于对偶高度htᴹ𝔪，且该值等于CdimᴿM。
• 在U-环条件下，对所有i < htᴹ𝔪有πᵢ(𝔪, M) = 0当且仅当M是对偶科亨-麦克唐纳模。
• 对偶维数CdimᴿM有上界，其上界为最大对偶支撑素理想上的最小对偶阶，且等号成立当且仅当M是对偶科亨-麦克唐纳模。