[论文解读] Dual Bialgebroids for Depth Two Ring Extensions

Lars Kadison, Kornél Szlachányi|ArXiv.org|Aug 9, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用 10

一句话总结

本文引入了环扩张 $M|N$ 的广义深度二概念，通过双重双 bialgebroids 建立了一、三步中心化子之间的 Morita 等价。它从第二步中心化子构造了左、右 bialgebroids $A$ 和 $B$，证明它们是对偶弱 bialgebras，且在 Frobenius 扩张下，$M|N$ 的可分性等价于 $A$ 或 $B$ 的 $K$-可分性，当满足有限性与 Frobenius 条件时，$A$ 成为弱 Hopf 代数。

ABSTRACT

We introduce a general notion of depth two for ring homomorphism N --> M, and derive Morita equivalence of the step one and three centralizers, R = C_M(N) and C = End_{N-M}(M ø_N M), via dual bimodules and step two centralizers A = End_NM_N and B = (M ø_N M)^N, in a Jones tower above N --> M. Lu's bialgebroids End_k A' and A' ø_k {A'}^op over a k-algebra A' are generalized to left and right bialgebroids A and B with B the R-dual bialgebroid of A. We introduce Galois-type actions of A on M and B on End_NM when M_N is a balanced module. In the case of Frobenius extensions M | N, we prove an endomorphism ring theorem for depth two. Further in the case of irreducible extensions, we extend previous results on Hopf algebra and weak Hopf algebra actions in subfactor theory [Szymanski, Nikshych-Vainerman] and its generalizations [Kadison-Nikshych: RA/0107064, RA/0102010] by methods other than nondegenerate pairing. As a result, we have concrete expressions for the Hopf or weak Hopf algebra structures on the step two centralizers. Semisimplicity of B is equivalent to separability of the extension M | N. In the presence of depth two, we show that biseparable extensions are QF.

研究动机与目标

• 将子因子理论中的深度二概念推广至任意环扩张，超越子因子理论的限制。
• 通过双 bimodules 和中心化子 $A$ 与 $B$，建立一、三步中心化子 $R$ 与 $C$ 之间的 Morita 等价。
• 从第二步中心化子构造左、右 bialgebroids $A$ 与 $B$，并证明它们在不依赖非退化配对的前提下为对偶弱 bialgebras。
• 证明在 Frobenius 深度二扩张下，$M|N$ 的可分性等价于 bialgebroid $A$ 或 $B$ 的 $K$-可分性。
• 在有限性与 Frobenius 条件下，证明 $A$ 成为弱 Hopf 代数，推广了子因子与量子群胚理论中的结果。

提出的方法

• 为环同态 $N\to M$ 引入广义的深度二定义，将子因子中的概念扩展至一般环扩张。
• 定义一、二、三步中心化子：$R = C_M(N)$，$A = \operatorname{End}_N M_N$，$B = (M \otimes_N M)^N$，$C = \operatorname{End}_{N-M}(M \otimes_N M)$。
• 通过双 bimodules $A$ 与 $B$（其中 $B$ 是 $A$ 关于 $R$ 的对偶）建立 $R$ 与 $C$ 之间的 Morita 等价。
• 利用 Frobenius 条件与平衡模结构，在 $A$ 上构造左 bialgebroid 结构，在 $B$ 上构造右 bialgebroid 结构。
• 通过 Frobenius 同态 $\phi$ 定义配对 $\langle \cdot, \cdot \rangle: B \times A \to K$，并证明在该配对下，$A$ 与 $B$ 为对偶弱 bialgebras。
• 利用 $A$ 中存在非退化左积分（具体为 Frobenius 同态 $E$）的事实，通过 [43, 定理 4.1] 证明 $A$ 是弱 Hopf 代数，从而对偶地推出 $B$ 是 $A$ 的对偶弱 Hopf 代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 子因子理论中的深度二概念能否在不依赖迹或非退化配对的前提下推广至任意环扩张？
• RQ2 如何在深度二扩张的中心化子 $A$ 与 $B$ 上直接构造 bialgebroid 结构？
• RQ3 扩张 $M|N$ 的可分性与 bialgebroid $A$ 和 $B$ 的可分性之间存在何种关系？
• RQ4 在何种条件下，bialgebroid $A$ 成为弱 Hopf 代数？
• RQ5 在弱 Hopf 代数与量子群胚理论中，$A$ 与 $B$ 之间的对偶性如何推广已知结果？

主要发现

• 一、三步中心化子 $R = C_M(N)$ 与 $C = \operatorname{End}_{N-M}(M \otimes_N M)$ 通过双 bimodules $A$ 与 $B$ 实现 Morita 等价。
• 在配对 $\langle b, a \rangle = \phi(b^1 a(b^2))$ 下，bialgebroids $A$ 与 $B$ 为对偶弱 bialgebras，其中 $\phi$ 为 Frobenius 同态。
• 对于 Frobenius 深度二扩张 $M|N$ 且中心化子 $R$ 可分的情形，若 $A$ 允许非退化左积分，则 $A$ 为弱 Hopf 代数，而该条件由 Frobenius 同态 $E$ 满足。
• 若 $A$ 中存在归一化的左积分，则 $A$ 为 $K$-可分，反之，$A$ 的 $K$-可分性蕴含 $M|N$ 为分裂扩张。
• 分离性 $M|N$ 等价于 $B$ 的 $K$-可分性，且 $B$ 同构于 $A$ 的对偶弱 Hopf 代数。
• 该构造无需预先假定非退化配对，而是直接从深度二与 Frobenius 条件推导出对偶性与 bialgebroid 结构。