[论文解读] Dual Cheeger Constants, Signless 1-Laplacians and Maxcut

Sihong Shao, Chuan Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2016

Graph theory and applications参考文献 20被引用 8

一句话总结

本文引入图上的无符号1-拉普拉斯算子并建立了其非线性谱理论，证明了对偶谢泼德常数 $ h^+ $ 等于 $ 1 - \mu_1^+ $，其中 $ \mu_1^+ $ 是无符号1-拉普拉斯算子的首个特征值。该工作扩展了卡鲁昂节点域定理，并构建了集合对洛瓦兹扩展以连接离散优化与连续函数最小化，从而实现了针对最大割问题的递归谱割算法的高效逆幂法。

ABSTRACT

The first nontrivial lower bound of the worst-case approximation ratio for the maxcut problem was achieved via the dual Cheeger problem, whose optimal value is referred to the dual Cheeger constant $h^+$, and later improved through its modification $\widehat{h}^+$. However, the dual Cheeger problem and its modification themselves are relatively unexplored, especially lack of effective approximate algorithms. To this end, we first derive equivalent spectral formulations of $h^+$ and $\widehat{h}^+$ within the framework of the nonlinear spectral theory of signless 1-Laplacian, present their interactions with the Laplacian matrix and 1-Laplacian, and then use them to develop an inverse power algorithm that leverages the local linearity of the objective functions involved. We prove that the inverse power algorithm monotonically converges to a ternary-valued eigenvector, and provide the approximate values of $h^+$ and $\widehat{h}^+$ on G-set for the first time. The recursive spectral cut algorithm for the maxcut problem can be enhanced by integrating into the inverse power algorithms, leading to significantly improved approximate values on G-set. Finally, we show that the lower bound of the worst-case approximation ratio for the maxcut problem within the recursive spectral cut framework can not be improved beyond $0.769$.

研究动机与目标

• 开发图上无符号1-拉普拉斯算子的非线性谱理论，类比经典1-拉普拉斯算子理论。
• 建立对偶谢泼德常数 $ h^+ $ 与无符号1-拉普拉斯算子首特征值 $ \mu_1^+ $ 之间的精确关系。
• 将卡鲁昂节点域定理推广至无符号1-拉普拉斯算子，并采用修改后的节点域定义。
• 构建洛瓦兹扩展的集合对版本，以捕捉对偶谢泼德问题目标函数的特性。
• 通过逆幂法实现高效计算 $ h^+ $，支持最大割问题中实用的递归谱割算法。

提出的方法

• 在满足单位 $ \ell^1 $-范数的图函数上定义无符号1-拉普拉斯算子泛函 $ I^+(\mathbf{x}) = \sum_{u \sim v} |x_u + x_v| $。
• 证明 $ \mu_1^+ = \inf_{\mathbf{x} \in X} I^+(\mathbf{x}) $，其中 $ X $ 为单位 $ \ell^1 $-球面，并表明 $ \mu_1^+ = 0 $ 当且仅当图是二分图。
• 建立集合对洛瓦兹扩展，将离散集合对函数映射为连续函数，从而实现 $ h^+ = 1 - \mu_1^+ $ 的精确恢复。
• 利用次微分分析证明 $ I^+(\mathbf{x}) $ 的局部线性性，从而支持逆幂法高效计算 $ \mu_1^+ $。
• 对经典卡鲁昂节点域定理进行修改，使其适用于无符号1-拉普拉斯算子，基于特征向量的符号变化定义节点域。
• 借助面积公式与图变换技术推导 $ I^+(\mathbf{x}) $ 的下界，从而得出 $ \inf I^+(\mathbf{x}) \geq 1 - h^+(G) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对偶谢泼德常数 $ h^+ $ 是否能通过类比于1-拉普拉斯算子的非线性谱理论被精确刻画？
• RQ2 是否存在一个谱泛函，其首特征值满足 $ \mu_1^+ = 1 - h^+ $？
• RQ3 洛瓦兹扩展如何推广以处理对偶谢泼德问题中出现的集合对函数？
• RQ4 无符号1-拉普拉斯算子泛函的局部线性性是否能支持实际的逆幂法以计算 $ h^+ $？
• RQ5 卡鲁昂节点域定理是否可推广至无符号1-拉普拉斯算子，并采用修改后的节点域定义？

主要发现

• 对偶谢泼德常数 $ h^+ $ 满足 $ h^+ = 1 - \mu_1^+ $，其中 $ \mu_1^+ $ 是无符号1-拉普拉斯算子的首特征值，使得对偶谢泼德不等式变为等式。
• 首特征值 $ \mu_1^+ = 0 $ 当且仅当图是二分图，提供了二分图的谱刻画。
• 卡鲁昂节点域定理被推广至无符号1-拉普拉斯算子，节点域基于特征向量的符号结构定义。
• 构建了洛瓦兹扩展的集合对版本，可精确恢复关系 $ h^+ = 1 - \mu_1^+ $。
• 泛函 $ I^+(\mathbf{x}) $ 在任意方向上均为局部线性，从而支持逆幂法高效计算 $ \mu_1^+ $，进而计算 $ h^+ $。
• 逆幂法提供了高效且非SDP的实现方式，支持最大割问题中递归谱割算法的实用化，且保证代价大于 1/2。