[论文解读] Dual control Monte Carlo method for tight bounds of value function under Heston stochastic volatility model

Jingtang Ma, Wenyuan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文提出一种双控制蒙特卡洛方法，用于在Heston随机波动率模型下，针对一般效用函数的效用最大化问题，计算价值函数的紧致下界和上界。通过利用特定的双控制形式 γₜ = c(t)√vₜ，该方法实现了幂函数、非HARA及Yarri效用的闭式上界，即使在非仿射效用下也能实现极小的对偶间隙，展现出高精度与高效率。

ABSTRACT

The aim of this paper is to study the fast computation of the lower and upper bounds on the value function for utility maximization under the Heston stochastic volatility model with general utility functions. It is well known there is a closed form solution of the HJB equation for power utility due to its homothetic property. It is not possible to get closed form solution for general utilities and there is little literature on the numerical scheme to solve the HJB equation for the Heston model. In this paper we propose an efficient dual control Monte Carlo method for computing tight lower and upper bounds of the value function. We identify a particular form of the dual control which leads to the closed form upper bound for a class of utility functions, including power, non-HARA and Yarri utilities. Finally, we perform some numerical tests to see the efficiency, accuracy, and robustness of the method. The numerical results support strongly our proposed scheme.

研究动机与目标

• 解决在Heston随机波动率模型下，针对一般效用函数的效用最大化问题中，高维非线性HJB方程缺乏高效数值方法的问题。
• 开发一种计算高效的方案，用于在无闭式解时可靠计算原始价值函数的下界和上界。
• 识别一种特定的双控制结构，使包括非HARA和Yarri效用在内的广泛效用类别的上界具有解析可处理性。
• 通过在多种效用类型和参数集下的大量数值实验，证明所提方法的鲁棒性、精度与效率。

提出的方法

• 该方法利用弱对偶性，通过双控制问题推导上界，通过可行的原始控制推导下界，从而在原始价值函数上形成紧致边界。
• 引入一种特定的双控制形式 γₜ = c(t)√vₜ（其中 c(t) 为分段常数），以实现幂函数、非HARA及Yarri效用的闭式上界。
• 上界通过蒙特卡洛模拟计算，路径数为10,000，时间步长为100；下界则使用100,000条路径和100个时间步长。
• 对于Yarri效用，采用傅里叶余弦法加速上界计算，利用Heston模型的仿射结构。
• 采用对双控制参数 c 的采样策略，使其在 [−0.5, 0.5] 上均匀分布，以测试鲁棒性并优化性能。
• 数值验证通过在不同参数（包括财富、波动率和波动率波动率）下比较多个示例的边界来完成，以评估精度与收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种双控制蒙特卡洛方法，以高效计算Heston模型下一般效用函数价值函数的紧致下界和上界？
• RQ2 在Heston模型下，双控制选择 γₜ = c(t)√vₜ 是否能为非HARA和Yarri效用提供解析可处理的上界？
• RQ3 下界与上界之间的差距如何随采样路径数和时间步长变化？能否高效地将其最小化？
• RQ4 所提方法在不同参数集（包括变化的无风险利率、波动率均值回归速度和相关性参数）下是否具有鲁棒性？

主要发现

• 对于Yarri效用，当使用 γₜ = c√vₜ 且采样时间点为20时，下界与上界之间的相对差异仅为0.112%，表明边界极为紧密。
• 在20次采样时间点下，边界间平均相对差异降至0.434%，平均绝对差异为5.8369×10⁻³，显示出一致的高精度。
• 采用傅里叶余弦法计算上界显著快于纯蒙特卡洛方法，当 γₜ = c√vₜ 时，上界计算时间缩短至0.248秒。
• 使用100,000条路径的下界计算耗时约2.37×10³秒，而使用10,000条路径的上界计算仅需6.08秒，显示出显著的计算效率。
• 在10组随机采样的参数集下，方法保持鲁棒性，即使在 κ、θ、ρ 和 ξ 等参数于合理范围内变化时，平均相对差异仍低于0.5%。
• 最优策略与终值财富分布的三维可视化证实了该方法能够准确捕捉随机波动率下的复杂动态行为。