[论文解读] Dual Foliation Formulations of General Relativity

David Hilditch|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2015

Advanced Differential Geometry Research参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文提出了一种广义相对论的双重叶层形式化方法，通过演化从广义谐和规范到双null坐标系的雅可比矩阵，实现了在双null坐标系中的局部适定性。该方法通过最小化雅可比矩阵与场方程的耦合，确保了新坐标系下的对称双曲性，从而使得标准数值相对论方法可直接应用于此前难以处理的规范选择中。

ABSTRACT

A dual foliation treatment of General Relativity is presented. The basic idea of the construction is to consider two foliations of a spacetime by spacelike hypersurfaces and relate the two geometries. The treatment is expected to be useful in various situations, and in particular whenever one would like to compare objects represented in different coordinates. Potential examples include the construction of initial data and the study of trapped tubes. It is common for studies in mathematical relativity to employ a double-null gauge. In such studies local well-posedness is treated by referring back, for example, to the generalized harmonic formulation, global properties of solutions being treated in a separate formalism. As a first application of the dual foliation formulation we find that one can in fact obtain local well-posedness in the double-null coordinates directly, which should allow their use in numerical relativity with standard methods. With due care it is expected that practically any coordinates can be used with this approach.

研究动机与目标

• 开发一种形式化方法，将坐标自由度与规范自由度与广义相对论中的局部适定性解耦。
• 解决双null坐标系缺乏直接、双曲性形式化的问题，而双null坐标系对于研究黑洞形成和时空稳定性至关重要。
• 通过确保雅可比矩阵演化过程中的双曲性，使数值相对论方法能够在双null坐标系及其他非标准坐标系中应用。
• 提供一种系统化方法，用于在不同坐标系之间比较解，尤其适用于初值构造和束缚管分析。

提出的方法

• 双重叶层形式化引入了两个类空叶层——一个在广义谐和坐标系中，另一个在双null坐标系中——并通过雅可比矩阵 $ J^{ ilde{ u}}{}_{ u} = rac{ ilde{ u}}{ u} $ 相连。
• 雅可比矩阵通过与广义谐和场方程最小耦合的一阶对流方程作为动力学场演化。
• 通过将广义谐和形式化与雅可比矩阵演化方程结合，将整个系统视为对称双曲系统。
• 通过一阶约化避免引入雅可比矩阵的高阶导数，从而保持原始系统的PDE结构和双曲性。
• 坐标变换通过迭代方式进行，雅可比矩阵定期重置为单位矩阵，以防止奇点产生，从而确保数值稳定性。
• 该方法可推广至任何雅可比矩阵演化方程保持双曲性且适定的坐标系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不预先修改规范的前提下，直接在双null坐标系中构造广义相对论的对称双曲形式？
• RQ2 在数值相对论中，如何将坐标自由度与初值问题的适定性解耦？
• RQ3 雅可比矩阵在实现坐标变换的同时，如何在保持场方程双曲性方面发挥作用？
• RQ4 该双重叶层方法能否推广至其他坐标系，如最大曲率切片或拟共形空间坐标？
• RQ5 如何将广义谐和形式化中的约束保持边界条件转换到新坐标系中？

主要发现

• 双重叶层方法通过演化从广义谐和坐标到双null坐标的雅可比矩阵，成功在双null坐标系中实现了局部适定性。
• 雅可比矩阵演化方程具有双曲性，且与场方程的耦合程度最小，从而保持了广义谐和形式化原有的对称双曲结构。
• 该方法使得标准数值相对论技术可在双null坐标系中应用，而这些坐标系在标准形式化中因弱双曲性而此前不可行。
• 该方法在坐标重初始化下具有鲁棒性：通过定期将雅可比矩阵重置为单位矩阵，可在长时间演化中保持数值稳定性。
• 该框架具有普适性，可应用于任何雅可比矩阵演化保持适定的坐标系，包括最大曲率切片和拟共形坐标。
• 该方法支持在不同规范之间直接比较解，适用于现代数值代码中对临界塌缩和束缚管动力学的研究。