[论文解读] Dual-mapping and quantum criticality in off-diagonal Aubry-André models

Tong Liu, Xu Xia|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2021

Quasicrystal Structures and Properties被引用 5

一句话总结

本文研究了Su-Schrieffer-Heeger链中的非对角准周期跳变模型，揭示了二聚化强度 $\lambda$ 与准周期调制强度 $V$ 之间的普遍对偶映射对称性。通过数值方法与半解析方法，研究发现特定调制下会涌现出一个广泛的量子临界区域——其特征为非遍历扩展（多重分形）态，这与标准对角Aubry-Andr\'e模型中临界性仅局限于单一点的情况形成鲜明对比。

ABSTRACT

We study a class of off-diagonal quasiperiodic hopping models described by one-dimensional Su-Schrieffer-Heeger chain with quasiperiodic modulations. We unveil a general dual-mapping relation in parameter space of the dimerization strength $λ$ and the quasiperiodic modulation strength $V$, regardless of the specific details of the quasiperiodic modulation. Moreover, we demonstrated semi-analytically and numerically that under the specific quasiperiodic modulation, quantum criticality can emerge and persist in a wide parameter space. These unusual properties provides a distinctive paradigm compared with the diagonal quasiperiodic systems.

研究动机与目标

• 探索一维Su-Schrieffer-Heeger链中非对角准周期跳变模型的局域化性质。
• 在二聚化强度 $\lambda$ 与准周期调制强度 $V$ 的参数空间中，识别出一种普遍的对偶映射对称性。
• 研究是否存在量子临界性——其特征为多重分形、非遍历扩展态——并可在单个临界点之外持续存在。
• 将非对角准周期模型的局域化行为与传统对角准周期系统（如Aubry-Andr\'e模型）进行对比。

提出的方法

• 为具有准周期非对角跳变调制的一维SSH链构建哈密顿量，参数化为 $\lambda$（二聚化）和 $V$（调制强度）。
• 引入两种不同的准周期调制序列：模型I采用 $\{V_{n-1}, V_n, V_n, V_n\}$，模型II采用 $\{V_{2n-2}, V_{2n-1}, V_{2n-1}, V_{2n}\}$。
• 使用局域化程度的倒数参与比（IPR）进行数值分类：扩展态（$\text{IPR} \sim 1/L$）、局域态（$\text{IPR} \sim 1$）或临界态（$\text{IPR} \sim L^{-\beta}$，其中 $0 < \beta < 1$）。
• 采用多重分形分析，利用从局域概率 $P_n \sim (1/F_m)^{\beta_n}$ 推导出的标度指数 $\beta_{\min}$，其中 $\beta_{\min} \in (0,1)$ 表明为临界态。
• 以斐波那契数列 $F_m$ 作为系统尺寸，以最小化有限尺寸效应，并将 $\beta_{\min}$ 计算为所有本征态的平均值。
• 在参数空间中识别出自映射区域，其中 $\lambda$ 与 $V$ 满足对称关系，从而导致临界性的持续存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非对角准周期SSH模型中，$\lambda$ 与 $V$ 的参数空间是否存在与特定准周期序列无关的对偶映射对称性？
• RQ2 非对角准周期模型中是否能涌现出一个广泛的量子临界区域，其中包含非遍历扩展态，而不同于对角模型中的点状临界性？
• RQ3 在热力学极限下，不同 $\lambda$ 与 $V$ 值的多重分形标度指数 $\beta_{\min}$ 如何演化？它们揭示了本征态的何种本质特征？
• RQ4 特定的准周期调制模式（如模型I与模型II）在稳定临界相中起到何种作用？

主要发现

• 在非对角准周期SSH模型的 $\lambda$-$V$ 参数空间中，确立了一种普遍的对偶映射对称性，且该对称性不依赖于具体的准周期调制序列。
• 对于模型II，在 $\lambda_c = 1$、$V_c = 1$ 附近出现一个广泛的量子临界区域，临界态在 $\lambda$ 与 $V$ 的大范围取值下持续存在，而不仅局限于单一点。
• 数值分析表明，对于扩展态（如 $\lambda=0.5, V=0.2$），$\beta_{\min}$ 在热力学极限下渐近趋近于1；而对于临界态（如 $\lambda=0.5, V=1$ 或 $V=5$），$\beta_{\min}$ 保持在 $ (0,1) $ 区间内。
• 自映射区域中的波函数表现出清晰的自相似结构，证实了其临界性质；而扩展态则表现出均匀的空间分布。
• 临界相具有强鲁棒性，在大系统尺寸 $L = F_m = 4181$ 下仍能持续存在，且通过使用斐波那契数列有效减小了有限尺寸效应。
• 本研究揭示了一项范式转变：非对角准周期模型可在广泛参数区域内容纳非遍历扩展态，而对角Aubry-Andr\'e模型中的临界性则被限制在单一点。