[论文解读] Dual mixed volumes and isosystolic inequalities

Juan Carlos Álvarez Paiva|ArXiv.org|Aug 30, 2004

Advanced Differential Geometry Research参考文献 37被引用 3

一句话总结

本文将对偶混合体积推广至余切丛中的星体，并利用该框架建立Finsler度量与哈密顿系统的等周不等式。通过引入相对不变量 $\tilde{W}_k(M;L,L_0)$ 并结合霍尔姆斯-汤普森体积与等周不变量，证明了 $\frac{\mathrm{sys}_k(M,L)^n}{\mathrm{sys}_k(M,L_0)^n} \leq \tilde{W}_k(M;L,L_0)^n \leq \frac{\mathrm{vol}(M,L)^{n-k}}{\mathrm{vol}(M,L_0)^{n-k}}$，将Pu与Berger的定理推广至Finsler几何与哈密顿动力系统。

ABSTRACT

The theory of dual mixed volumes is extended to star bodies in cotangent bundles and is used to prove several isosystolic inequalities for Hamiltonian systems and Finsler metrics.

研究动机与目标

• 将 $\mathbb{R}P^n$ 上黎曼度量的Pu最优等周不等式推广至Finsler度量。
• 利用哈密顿系统将Berger的无穷小等周不等式推广至Finsler度量。
• 为余切丛中的星体发展对偶混合体积理论，以分析等周与体积不变量。
• 通过周期测地流，建立 $\mathbb{R}P^2$ 的Finsler统一化猜想的推广。
• 利用平均化技术，在共形与可交换哈密顿条件下证明等周不等式。

提出的方法

• 利用余切丛上的对偶混合体积理论，为紧致 $n$-流形 $M$ 上Finsler度量对 $(L,L_0)$ 定义对偶混合体积 $\tilde{W}_k(M;L,L_0)$。
• 在Finsler几何中使用霍尔姆斯-汤普森体积作为体积测度，因其在哈密顿视角下具有自然性。
• 建立不等式 $\tilde{W}_k(M;L,L_0)^n \leq \frac{\mathrm{vol}(M,L)^{n-k}}{\mathrm{vol}(M,L_0)^{n-k}}$，等号成立当且仅当 $L$ 是 $L_0$ 的常数倍。
• 在三组假设下证明 $\tilde{W}_k(M;L,L_0) \geq \frac{\mathrm{sys}_k(M,L)}{\mathrm{sys}_k(M,L_0)}$：与不变度量共形、周期测地流、可交换流。
• 应用哈密顿平均化技术构造一条度量路径 $K_t$，使其在 $t=0$ 处与 $L_t$ 一阶相切，并满足等周不等式。
• 利用若 $H_0$ 具有周期流，则任一同态一次的 $H$ 可表示为 $E + \{H_0, F\}$ 且 $\{H_0, E\} = 0$ 的事实，实现微扰控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 Pu的等周不等式在 $\mathbb{R}P^2$ 上能否推广至Finsler度量？
• RQ2 在 $\mathbb{R}P^n$ 上，Finsler度量 $L$ 满足何种条件时，不等式 $\frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L)}{\mathrm{vol}(M,L)} \leq \frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L_0)}{\mathrm{vol}(M,L_0)}$ 成立？
• RQ3 周期测地流与可交换哈密顿系统在推导等周不等式中起何作用？
• RQ4 哈密顿平均化技术能否用于将Berger的无穷小等周不等式推广至Finsler度量？
• RQ5 是否存在 $\mathbb{R}P^2$ 的Finsler版本的统一化定理，使得每个可逆Finsler度量都共形等价于具有周期测地流的度量？

主要发现

• 当Finsler度量 $L$ 与 $\mathbb{R}P^n$ 上的不变度量 $L_0$ 共形时，不等式 $\frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L)}{\mathrm{vol}(M,L)} \leq \frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L_0)}{\mathrm{vol}(M,L_0)}$ 成立，推广了Pu定理。
• 在 $\mathbb{R}P^n$ 上，若 $L_0$ 具有周期测地流且 $L$ 在哈密顿意义下与 $L_0$ 可交换，则 $\frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L)}{\mathrm{vol}(M,L)} \leq \frac{\mathrm{sys}_1^n(M,L_0)}{\mathrm{vol}(M,L_0)}$。
• 在 $SO(3)$ 上，与左不变度量共形的Finsler度量 $L$ 满足 $\frac{\mathrm{sys}_1^3(SO(3),L)}{\mathrm{vol}(SO(3),L)} \leq \pi$，等号成立当且仅当 $L$ 为双不变度量。
• 对任意光滑Finsler度量路径 $L_t$ 在 $\mathbb{R}P^n$ 上，若 $L_0$ 具有周期测地流，则存在一条路径 $K_t$，使其在 $t=0$ 处与 $L_t$ 一阶相切，且满足 $\frac{\mathrm{sys}_1^n({\mathbb{R}}P^n,K_t)}{\mathrm{vol}({\mathbb{R}}P^n,K_t)} \leq \frac{\mathrm{sys}_1^n({\mathbb{R}}P^n,L_0)}{\mathrm{vol}({\mathbb{R}}P^n,L_0)}$，从而推广了Berger的结果。
• 不等式 $\tilde{W}_k(M;L,L_0)^n \leq \frac{\mathrm{vol}(M,L)^{n-k}}{\mathrm{vol}(M,L_0)^{n-k}}$ 成立，且等号成立当且仅当 $L$ 是 $L_0$ 的常数倍。
• 若每个可逆Finsler度量在 $\mathbb{R}P^2$ 上都共形等价于具有周期测地流的度量，则该猜想将推出Finsler版本的Pu定理，如Ivanov的结果所示。