[论文解读] Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: Orlicz $\varphi$-radial addition, Orlicz $L_{\phi}$-dual mixed volume and related inequalities

Deping Ye|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2014

Point processes and geometric inequalities参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文通过定义Orlicz ϕ-径向加法并基于线性Orlicz ϕ-径向加法推导出Orlicz Lφ-对偶混合体积，为星体引入了双Orlicz-Brunn-Minkowski理论。该理论建立了关键不等式，包括双Orlicz-Minkowski不等式、双Orlicz等周不等式以及双Orlicz-Urysohn不等式，并在生成函数 φ 的严格严格凸性/凹性假设下，通过等式条件刻画出原点对称的欧几里得球体。

ABSTRACT

This paper develops basic setting for the dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory for star bodies. An Orlicz $\varphi$-radial addition of two or more star bodies is proposed and related dual Orlicz-Brunn-Minkowski inequality is established. Based on a linear Orlicz $\varphi$-radial addition of two star bodies, we derive a formula for the Orlicz $L_{\phi}$-dual mixed volume. Moreover, a dual Orlicz-Minkowski inequality for the Orlicz $L_{\phi}$-dual mixed volume, a dual Orlicz isoperimetric inequality for the Orlicz $L_{\phi}$-dual surface area and a dual Orlicz-Urysohn inequality for the Orlicz $L_{\phi}$-harmonic mean radius are proved.

研究动机与目标

• 为星体的双Orlicz-Brunn-Minkowski理论建立基础框架。
• 为星体定义一种新运算——Orlicz ϕ-径向加法，以推广经典径向加法。
• 通过线性Orlicz ϕ-径向加法建立Orlicz Lφ-对偶混合体积。
• 将经典不等式（Minkowski第一类、等周不等式与Urysohn不等式）推广至其双Orlicz形式。
• 刻画这些不等式中等号成立的条件，表明当生成函数 φ 满足严格凸性/凹性时，等号成立当且仅当涉及的体为位似体或原点对称的欧几里得球体。

提出的方法

• 通过一个凸函数 ϕ ∈ ˜Φ2 及函数 Fϕ(x1, x2) = ϕ(x1−1/n, x2−1/n) 的联合凸性条件，为两个或多个星体提出 Orlicz ϕ-径向加法。
• 通过线性 Orlicz ϕ-径向加法推导出 Orlicz Lφ-对偶混合体积，推广了经典的对偶混合体积。
• 应用 Jensen 不等式于星体的径向函数，推导出涉及 Orlicz Lφ-对偶混合体积的不等式。
• 将 Orlicz Lφ-对偶表面积定义为 neVφ(K, Bn₂)，并将 Orlicz Lφ-调和平均半径定义为单位球面上关于 φ(1/ρK(u)) 的积分。
• 以双Orlicz-Minkowski不等式为核心工具，推导出等周不等式与Urysohn型不等式。
• 采用体积归一化的径向函数与球面积分，比较不同星体之间混合体积与表面积的大小关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过星体的Orlicz型加法，将经典对偶Brunn-Minkowski理论推广至非齐次函数 φ 的情形？
• RQ2 何种径向加法的推广形式能保持凸性并支持双Orlicz不等式的推导？
• RQ3 如何基于线性Orlicz ϕ-径向加法定义并刻画Orlicz Lφ-对偶混合体积？
• RQ4 经典Minkowski第一不等式、等周不等式与Urysohn不等式的双Orlicz形式是什么？
• RQ5 双Orlicz不等式中等号成立的条件是什么？其几何特征如何？

主要发现

• 双Orlicz-Brunn-Minkowski不等式成立：当 ϕ ∈ ˜Φ2 且 Fϕ 为凸函数时，ϕ( (|K e+ϕ L|/|K|)^{1/n}, (|K e+ϕ L|/|L|)^{1/n} ) ≤ 1，等号成立当且仅当 K 与 L 为位似体。
• 建立了双Orlicz-Minkowski不等式：当 φ ∈ Φ 且 F(t) = φ(t^{-1/n}) 为凸函数时，eVφ(K, L) ≥ |K| · φ(|K|^{1/n} |L|^{-1/n})，等号成立当且仅当 K 与 L 为位似体。
• 双Orlicz等周不等式表明：当 φ ∈ Φ 时，eSφ(K) ≥ eSφ(BK)，等号成立当且仅当 F 严格凸且 K 为原点对称的欧几里得球体。
• 当 φ ∈ Ψ 时，双Orlicz等周不等式给出 eSφ(K) ≤ eSφ(BK)，等号成立当且仅当 F 严格凹且 K 为原点对称的欧几里得球体。
• 双Orlicz-Urysohn不等式表明：当 φ ∈ Φ 时，eωφ(K) ≥ eωφ(BK)，等号成立当且仅当 F 严格凸且 K 为原点对称的欧几里得球体。
• 当 φ(t) = t^p 时，Orlicz Lφ-对偶表面积满足 eSp(λK) = λ^{n+p} eSp(K)，将经典尺度律推广至Orlicz情形。