[论文解读] Dual Parameterization of Weighted Coloring

Júlio Aráujo, Víctor Campos+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Advanced Graph Theory Research被引用 2

一句话总结

本文引入了加权染色问题的双重参数化，目标是确定加权色数 σ(G, w) 是否不超过总权重减去参数 k。本文提出了一个运行时间为 9^k · n^O(1) 的 FPT 算法，一个顶点数至多为 (2k−1 + 1)(k−1) 的核，并在区间图和某些分裂图上获得了多项式核，同时在一般分裂图上排除了多项式核的存在，除非 NP ⊆ coNP/poly。

ABSTRACT

Given a graph $G$, a proper $k$-coloring of $G$ is a partition $c = (S_i)_{i\in [1,k]}$ of $V(G)$ into $k$ stable sets $S_1,\ldots, S_{k}$. Given a weight function $w: V(G) o \mathbb{R}^+$, the weight of a color $S_i$ is defined as $w(i) = \max_{v \in S_i} w(v)$ and the weight of a coloring $c$ as $w(c) = \sum_{i=1}^{k}w(i)$. Guan and Zhu [Inf. Process. Lett., 1997] defined the weighted chromatic number of a pair $(G,w)$, denoted by $\sigma(G,w)$, as the minimum weight of a proper coloring of $G$. The problem of determining $\sigma(G,w)$ has received considerable attention during the last years, and has been proved to be notoriously hard: for instance, it is NP-hard on split graphs, unsolvable on $n$-vertex trees in time $n^{o(\log n)}$ unless the ETH fails, and W[1]-hard on forests parameterized by the size of a largest tree. In this article we provide some positive results for the problem, by considering its so-called dual parameterization: given a vertex-weighted graph $(G,w)$ and an integer $k$, the question is whether $\sigma(G,w) \leq \sum_{v \in V(G)} w(v) - k$. We prove that this problem is FPT by providing an algorithm running in time $9^k \cdot n^{O(1)}$, and it is easy to see that no algorithm in time $2^{o(k)} \cdot n^{O(1)}$ exists under the ETH. On the other hand, we present a kernel with at most $(2^{k-1}+1) (k-1)$ vertices, and we rule out the existence of polynomial kernels unless ${\sf NP} \subseteq {\sf coNP} / {\sf poly}$, even on split graphs with only two different weights. Finally, we identify some classes of graphs on which the problem admits a polynomial kernel, in particular interval graphs and subclasses of split graphs, and in the latter case we present lower bounds on the degrees of the polynomials.

研究动机与目标

• 通过引入双重参数化来应对加权染色问题的计算困难性。
• 研究在顶点加权图 (G, w) 和整数 k 下，判断 σ(G, w) ≤ Σw(v) − k 的参数化复杂性。
• 识别该问题在哪些图类中可获得多项式核，并建立核大小的紧致下界。
• 在标准复杂性假设下，提供全面的复杂性分析，包括 FPT 算法和核化限制。

提出的方法

• 提出一种双重参数化，其中参数 k 衡量的是与总顶点权重的差距。
• 设计一个使用有界搜索和颜色类分解的 FPT 算法，运行时间为 9^k · n^O(1)。
• 开发一种核化算法，通过基于最大团和颜色类的约化规则，将图缩减至至多 (2k−1 + 1)(k−1) 个顶点。
• 对区间图和分裂图应用结构图分解技术，利用团-稳定集结构。
• 通过从集合覆盖和 d-集合覆盖的约化来证明核的下界，依赖于 NP ⊆ coNP/poly 的假设。
• 通过显式构造证明核界是紧致的，这些构造达到理论极限且无法被核化规则进一步简化。

实验结果

研究问题

• RQ1 加权染色问题在双重参数化下是否可实现固定参数可追踪？
• RQ2 在区间图和分裂图上，加权染色的双重参数化最优核大小是多少？
• RQ3 在密集图类（如分裂图和区间图）上，双重参数化是否允许多项式核？
• RQ4 FPT 算法能否在运行时间上进一步优化，其在指数时间假设下的极限是什么？
• RQ5 该问题的核化是否存在固有局限性，特别是在分裂图上？

主要发现

• 双重加权染色问题存在一个运行时间为 9^k · n^O(1) 的 FPT 算法，且除非 ETH 失效，否则无法实现 2^o(k) · n^O(1) 的时间复杂度。
• 存在一个顶点数至多为 (2k−1 + 1)(k−1) 的核，且该界是紧致的，已通过显式图构造证明。
• 对于区间图，存在多项式核，其大小为 O(k^3) 的三次核，且该界是紧致的。
• 对于每个团顶点在稳定集中至多有 d 个非邻居的分裂图，存在一个大小为 O(k^d) 的核，且除非 NP ⊆ coNP/poly，否则不存在大小为 O(k^{d−3/2−ε}) 的核。
• 在一般分裂图上，除非 NP ⊆ coNP/poly，否则不存在多项式核，即使仅有两种不同的权重。
• 核大小界是紧致的，已通过达到理论极限且无法被核化规则进一步简化的构造证明。