[论文解读] Dual Raviart-Thomas mixed finite elements

François Dubois|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2010

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 12被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种基于对偶 Raviart-Thomas 混合有限元的 Petrov-Galerkin 有限体积法，用于求解二维 Poisson 方程，其中标量未知量为分片常数，动量通过最低阶 Raviart-Thomas 单元进行近似。该方法通过一个双参数对偶基函数族确保了稳定性与最优收敛性，每个边使用六三角形带状 stencil 实现局部守恒与一致的离散梯度。

ABSTRACT

For an elliptic problem with two space dimensions, we propose to formulate the finite volume method with the help of Petrov-Galerkin mixed finite elementsthat are based on the building of a dual Raviart-Thomas basis.

研究动机与目标

• 提出一种结合混合有限元公式与 Petrov-Galerkin 变分原理的二维 Poisson 方程有限体积法。
• 通过为动量未知量构造对偶 Raviart-Thomas 基函数，确保局部守恒与一致的离散梯度。
• 建立该有限体积格式稳定性和最优收敛性的充分条件。
• 弥合有限体积法的数学公式与混合有限元理论之间的鸿沟，尤其在方盒格式与 inf-sup 条件方面的关联。
• 为在全平面上构造显式插值函数提供一个框架，从而支持进一步的稳定性分析。

提出的方法

• 该方法采用混合变分公式，使用乘积空间 $ V = L^2(Ω) \times H({\rm div}, \Omega) $，其中标量解 $ u $ 属于 $ L^2 $，动量 $ p = \nabla u $ 属于 $ H({\rm div}, \Omega) $。
• 离散空间定义为 $ L_{\cal T}^2(\Omega) $（在每个三角形内为常数）和 $ H_{\cal T}({\rm div}, \Omega) $（使用最低阶 Raviart-Thomas 单元对矢量动量进行近似）。
• 引入 Petrov-Galerkin 变分格式，测试函数源自对偶 Raviart-Thomas 基函数，从而导出该格式可能的双参数基函数族。
• 在每个边周围六个三角形的带状区域内构造离散梯度算子，以确保局部守恒与梯度的协调重建。
• 在涉及对偶基函数的充分假设下证明了稳定性，且该格式满足混合格式适定性所要求的 inf-sup 条件。
• 通过在每个三角形上积分守恒定律，并利用 Raviart-Thomas 基函数计算通量，强制实现平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何基于动量的对偶 Raviart-Thomas 基函数，利用 Petrov-Galerkin 混合有限元方法构造有限体积格式？
• RQ2 何种条件可确保此类混合有限体积格式的稳定性和最优收敛性？
• RQ3 在三角形网格中，如何在每个边的六三角形带状区域内一致地重构离散梯度算子？
• RQ4 双参数对偶 Raviart-Thomas 基函数族在构造稳定且收敛的格式中起什么作用？
• RQ5 该公式与方盒格式及现有混合有限元理论之间有何关系，尤其在数学一致性与守恒性方面？

主要发现

• 所提出的 Petrov-Galerkin 有限体积格式通过在每个三角形单元上使用 Raviart-Thomas 基函数积分动量方程，确保了通量的局部守恒。
• 在涉及对偶 Raviart-Thomas 基函数的充分稳定性假设下，该格式实现了最优收敛率，该基函数由两个自由系数参数化。
• 离散梯度算子在每个边周围六个三角形的带状区域内构造，实现了梯度场的一致且守恒的重构。
• 该方法满足混合公式适定性所要求的 inf-sup 条件，确保在离散空间中存在唯一解。
• 推导出一个稳定性充分条件，其依赖于对偶 Raviart-Thomas 基函数的选择，且该方法被证明与连续变分问题一致。
• 该框架允许在 $ \Omega = \mathbb{R}^2 $ 的情况下显式构造插值函数，为后续的稳定性分析与实现铺平了道路。