[论文解读] Dual representation of risk measures on Orlicz spaces

Niushan Gao, Denny H. Leung+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Risk and Portfolio Optimization被引用 3

一句话总结

本文证明了在Orlicz空间 $L^\Phi$ 中，对于凸集，有序闭包性与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭包性等价当且仅当至少一个共轭Orlicz函数 $\Phi$ 或 $\Psi$ 满足 $\Delta_2$-条件。关键结果表明，当 $\Phi$ 和 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件时，存在一个具有Fatou性质的 coherent 风险度量，其无法进行Fenchel-Moreau对偶表示，揭示了在此类条件下对偶表示的根本局限性。

ABSTRACT

Let $(\Phi,\Psi)$ be a conjugate pair of Orlicz functions. A set in the Orlicz space $L^\Phi$ is said to be order closed if it is closed with respect to dominated convergence of sequences of functions. A well known problem arising from the theory of risk measures in financial mathematics asks whether order closedness of a convex set in $L^\Phi$ characterizes closedness with respect to the topology $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$. (See [26, p.3585].) In this paper, we show that for a norm bounded convex set in $L^\Phi$, order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness are indeed equivalent. In general, however, coincidence of order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\Phi$ is equivalent to the validity of the Krein-Smulian Theorem for the topology $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$; that is, a convex set is $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closed if and only if it is closed with respect to the bounded-$\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$ topology. As a result, we show that order closedness and $\sigma(L^\Phi,L^\Psi)$-closedness of convex sets in $L^\Phi$ are equivalent if and only if either $\Phi$ or $\Psi$ satisfies the $\Delta_2$-condition. Using this, we prove the surprising result that: \emph{If (and only if) $\Phi$ and $\Psi$ both fail the $\Delta_2$-condition, then there exists a coherent risk measure on $L^\Phi$ that has the Fatou property but fails the Fenchel-Moreau dual representation with respect to the dual pair $(L^\Phi, L^\Psi)$}. A similar analysis is carried out for the dual pair of Orlicz hearts $(H^\Phi,H^\Psi)$.

研究动机与目标

• 解决金融数学中一个长期存在的问题：在Orlicz空间中，凸集的有序闭包性与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭包性何时等价。
• 澄清Krein-Smulian定理在 $L^\Phi$ 上拓扑 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 下成立的条件。
• 确定在何种条件下，$L^\Phi$ 上的coherent风险度量能相对于对偶对 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 实现Fenchel-Moreau对偶表示。
• 将分析扩展至Orlicz心脏对 $(H^\Phi, H^\Psi)$。

提出的方法

• 作者分析了在对偶对 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 诱导的弱拓扑 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 下，Orlicz空间 $L^\Phi$ 中凸集的拓扑性质。
• 他们证明，对于范数有界的凸集，有序闭包性蕴含 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭包性，反之亦然，当且仅当 $\Phi$ 或 $\Psi$ 中至少一个满足 $\Delta_2$-条件。
• 该证明依赖于对 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 下Krein-Smulian定理有效性的刻画，并将其与 $\Delta_2$-条件联系起来。
• 他们运用Orlicz空间中的对偶理论以及共轭Orlicz函数的性质，分析了Fenchel-Moreau表示失效的原因。
• 该分析被扩展至Orlicz心脏 $H^\Phi$ 和 $H^\Psi$，比较了这些子空间中闭包性与对偶性的行为。
• 构造了一个反例，表明当 $\Phi$ 和 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件时，一个具有Fatou性质的coherent风险度量可能无法实现对偶表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $L^\Phi$ 中，凸集的有序闭包性与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭包性在何种条件下等价？
• RQ2 Krein-Smulian定理在 $L^\Phi$ 上的拓扑 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 下何时成立？
• RQ3 $\Phi$ 和 $\Psi$ 上的 $\Delta_2$-条件与 $L^\Phi$ 上风险度量的Fenchel-Moreau对偶表示存在性之间有何关系？
• RQ4 一个在 $L^\Phi$ 上的coherent风险度量是否可能具有Fatou性质，但相对于 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 无法实现对偶表示？
• RQ5 在 $L^\Phi$ 上的结果如何推广至Orlicz心脏对 $(H^\Phi, H^\Psi)$？

主要发现

• 在 $L^\Phi$ 中，凸集的有序闭包性与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭包性等价当且仅当 $\Phi$ 或 $\Psi$ 中至少一个满足 $\Delta_2$-条件。
• 有序闭包性与 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$-闭包性的重合，等价于 $\sigma(L^\Phi, L^\Psi)$ 下Krein-Smulian定理的有效性。
• 当 $\Phi$ 和 $\Psi$ 均不满足 $\Delta_2$-条件时，存在一个在 $L^\Phi$ 上的coherent风险度量，其具有Fatou性质，但无法相对于 $(L^\Phi, L^\Psi)$ 实现Fenchel-Moreau对偶表示。
• 这种对偶表示的失效被证明是由于两个共轭Orlicz函数均不满足 $\Delta_2$-条件的直接结果。
• 对Orlicz心脏 $(H^\Phi, H^\Psi)$ 的分析得出了类似结果，表明在相同条件下，这些子空间中也存在相同的对偶失效现象。
• 本文建立了明确的二分法：对偶表示仅在至少一个Orlicz函数满足 $\Delta_2$-条件时成立。